Muitas aplicações da conservação do momento envolvem também a conservação de energia, porém, ainda não iniciamos nossa discussão sobre energia. No entanto, você conhece o bastante sobre energia a partir de seu curso introdutório de física e, por isso, é capaz de lidar com esse tipo de problema. Eis um exemplo: uma colisão elástica entre dois corpos é
definida como uma colisão na qual a energia cinética total dos dois corpos, após a colisão, é a mesma que antes. (Um exemplo familiar é a colisão entre duas bolas de bilhar, que geralmente perdem extremamente pouco de sua energia cinética total.) Considere uma colisão elástica entre dois corpos de massas iguais, um dos quais está inicialmente em repouso. Sejam as suas velocidades e antes da colisão, e e depois da colisão. Escreva a equação vetorial representando a conservação do momento e a equação escalar que expressa que a colisão é elástica. Use esses resultados para mostrar que o ângulo entre e é . Esse resultado foi importante na história da física atômica e nucelar: dois corpos que sofreram uma colisão movendo-se com trajetórias perpendiculares era uma forte sugestão de que eles tinham a mesma massa e tinham sofrido uma colisão elástica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma colisão entre dois corpos de massas iguais, onde um deles tá parado antes da colisão. A colisão é elástica, ou seja, a energia cinética total não muda. Precisamos usar os conceitos de conservação do momento e conservação da energia para mostrar que, depois da colisão, as trajetórias dos corpos formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conservação do momento e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da conservação do momento. O momento é um vetor, então a soma dos momentos antes da colisão deve ser igual à soma depois. Como um dos corpos tá parado antes, só temos o momento do primeiro corpo antes da colisão.
Matematicamente:
Como , temos:
Simplificando, já que as massas são iguais e não zero:

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação que representa que a colisão é elástica, ou seja, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma.
A energia cinética é dada por . Como as massas são iguais e constantes, podemos apenas igualar os quadrados das velocidades.
Então, temos:

Passo 4

Vamos agora usar as duas equações que montamos para encontrar uma relação entre , e o ângulo entre elas. Para facilitar, vamos trabalhar com as magnitudes das velocidades.
Da conservação do momento vetorial:
Ao elevar ambos os lados ao quadrado (produto escalar):
Mas sabemos que pela conservação da energia.
Então:
Simplificando:
Então:

Passo 5

O produto escalar de dois vetores é igual a zero quando os vetores são perpendiculares entre si. Ou seja:
Portanto, o ângulo entre e é de 90 graus.

Resposta

O ângulo entre as velocidades pós-colisão e é de .

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