Seja uma superfície separando dois meios materiais 1 e 2 . Demonstre que: b) , onde é o vetor unitário normal àquela superfície, dirigido da regiāo 1 para a região 2 , e é o vetor unitário tangente à mesma superfície e orientado da esquerda para a direita.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície que separa dois materiais diferentes, chamados de meio 1 e meio 2. A pergunta quer que a gente mostre que a diferença entre os campos elétricos nesses dois meios, quando projetada na direção tangente à superfície, é igual a zero. Em termos mais simples, isso significa que a parte do campo elétrico que “escapa” ao longo da superfície é a mesma nos dois lados, sem diferença.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de condições de contorno para campos elétricos em superfícies que separam diferentes materiais. Essas condições nos dizem como os campos elétricos se comportam quando cruzam uma interface entre dois meios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das condições de contorno para o campo elétrico em uma superfície que separa dois meios. Essas condições nos dizem que:
  1. A componente tangente do campo elétrico é contínua através da superfície. Isso significa que não há “saltos” na direção paralela à superfície.
    Matemáticamente, isso é representado por:
    onde é o vetor tangente à superfície.
  2. A componente normal do deslocamento elétrico tem um salto proporcional à densidade de carga de superfície presente. No entanto, se não há carga livre na superfície, então:
    onde é o vetor normal à superfície.
No nosso caso, estamos focando apenas no campo elétrico , então vamos nos concentrar na primeira condição.

Passo 3

Vamos analisar o que significa matematicamente a condição de que a componente tangente de é contínua. Isso implica que a diferença das componentes tangentes dos campos elétricos nos dois meios é zero. Ou seja:
Aqui, é o vetor unitário tangente à superfície, orientado da esquerda para a direita. Essa equação nos diz que não há diferença na direção tangente dos campos elétricos nos dois lados da superfície.

Passo 4

Além disso, queremos mostrar que o produto cruzado da diferença dos campos elétricos com o vetor normal também é zero:
Aqui, é o vetor unitário normal à superfície, direcionado do meio 1 para o meio 2. O produto cruzado sendo zero indica que a diferença dos campos elétricos não tem componentes na direção perpendicular à superfície, ou seja, todas as diferenças estão na direção tangente, que já estabelecemos ser zero.

Passo 5

Para demonstrar isso, vamos considerar que não há carga livre na superfície, o que simplifica as condições de contorno. Com isso, sabemos que a componente tangente do campo elétrico deve ser a mesma dos dois lados da superfície:
Isso já nos dá a primeira parte que queríamos mostrar. Agora, para a segunda parte, o produto cruzado, observamos que se a diferença das componentes tangentes é zero, então a diferença total dos campos elétricos não tem componente na direção tangente. Portanto, ela deve estar completamente na direção normal.
Mas, como a condição implica que a parte tangente é zero, qualquer diferença na direção normal também deve ser zero se não houver carga na superfície. Assim, concluímos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que:
Isso confirma que as componentes tangente e normal do campo elétrico são contínuas através da superfície que separa os dois meios.

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