*28. O elétron em certo átomo de hidrogênio tem uma quantidade de movimento angular igual a 8,948 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}. Qual o maior módulo possível para a componente z da quantidade de movimento angular desse elétron? Para ter uma boa acurácia, use h=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a magnitude do momento angular total do elétron em um átomo de hidrogênio como \,L=8,948\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} e pede o maior módulo possível de sua componente em z. O conteúdo aqui é a quantização do momento angular orbital, em que
L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar
e
L_z = m\,\hbar,
com l e m inteiros e -l\le m\le l. Vamos usar essas fórmulas para achar l e em seguida L_z^{\max}.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de \hbar e a razão L/\hbar. Usando h=6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} temos
\hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6,626\times10^{-34}}{2\pi} \approx 1,055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}.
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\frac{L}{\hbar} = \frac{8,948\times10^{-34}}{1,055\times10^{-34}} \approx 8,48.

Passo 3

Da relação \sqrt{l(l+1)}\,\hbar = L vem
l(l+1) = \Bigl(\frac{L}{\hbar}\Bigr)^{2} \approx (8,48)^{2} \approx 72,0.
Então l satisfaz
l^{2} + l - 72,0 = 0.

Passo 4

Resolvendo essa equação quadrática,
l = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\cdot72,0}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 + 17}{2} = 8.
Como l deve ser inteiro, concluímos l=8.

Passo 5

O maior valor de \lvert L_z\rvert ocorre para m=l, isto é,
L_z^{\max} = l\,\hbar = 8\,\hbar = 8 \times 1,055\times10^{-34} \approx 8,44\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}.

Resposta

O maior módulo possível de L_z é aproximadamente 8,44\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}.

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