**22. No modelo de Bohr do hidrogênio, o elétron se move em uma órbita circular ao redor do núcleo. Determine a velocidade angular do elétron, em revoluções por segundo, quando ele está (a) no estado fundamental e (b) no primeiro estado excitado.

Passo 1

O enunciado pede a frequência orbital (velocidade angular em revoluções por segundo) do elétron no modelo de Bohr do hidrogênio, nos níveis n=1 (fundamental) e n=2 (primeiro excitado). Vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr:
– raio da órbita: r_n = a_0\,n^2
– velocidade na órbita: v_n = \dfrac{v_1}{n}
– relação entre frequência e velocidade: f_n = \dfrac{v_n}{2\pi\,r_n}.

Passo 2

Aplicando o raio de Bohr,
r_n = a_0\,n^2,
com a_0 = 5,29\times10^{-11}\,\mathrm{m}, obtemos
r_1 = 5,29\times10^{-11}\,\mathrm{m}, \quad r_2 = 5,29\times10^{-11}\times2^2 = 2,12\times10^{-10}\,\mathrm{m}.

Passo 3

A velocidade do elétron no nível n é
v_n = \frac{v_1}{n},
sendo o valor básico
v_1 = 2,19\times10^{6}\,\mathrm{m/s}.
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v_1 = 2,19\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, \quad v_2 = \frac{2,19\times10^{6}}{2} = 1,095\times10^{6}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

A frequência de revoluções por segundo é
f_n = \frac{v_n}{2\pi\,r_n}.
Para n=1,
f_1 = \frac{2,19\times10^{6}}{2\pi \times 5,29\times10^{-11}} \approx 6,6\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Para n=2 basta usar f_2 = v_2/(2\pi r_2) ou notar que
f_2 = \frac{f_1}{n^3} = \frac{f_1}{8} \approx \frac{6,6\times10^{15}}{8} =8,25\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}.

Resposta

(a) 6,6\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}
(b) 8,2\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}

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