Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano admita apenas dois autoestados, com energia e (com energia ). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação com os seguintes elementos de matriz:
em que é uma constante específica.
(a) Calcule os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema quântico com um Hamiltoniano não perturbado que tem dois autoestados, com energia e com energia . Eles são ortogonais, normalizados e não têm a mesma energia (não degenerados), sendo a menor energia. Agora, adicionamos uma perturbação que tem elementos de matriz específicos entre esses estados. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado . Para isso, vamos precisar entender como isso afeta as energias do sistema e usar álgebra de matrizes básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz do Hamiltoniano perturbado no espaço dos autoestados e . Sabemos que já está diagonal nesses estados, com e nas diagonais. A perturbação tem elementos de matriz dados por:
Então, a matriz total fica assim:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores desse Hamiltoniano perturbado, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :
O determinante dessa matriz é:

Passo 5

Para encontrar os valores de , igualamos o determinante a zero:
Vamos expandir a equação:
Isso é uma equação quadrática na forma , onde:

Passo 6

Para resolver a equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a fórmula para fica:

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais dividindo ambos os termos dentro da raiz por 4:
Isso nos dá os dois autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado.

Resposta

Os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado são

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