Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano
admita apenas dois autoestados,
com energia
e
(com energia
). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que
seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação
com os seguintes elementos de matriz:
em que
é uma constante específica.
(a) Calcule os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado.
(a) Calcule os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema quântico com um Hamiltoniano não perturbado
que tem dois autoestados,
com energia
e
com energia
. Eles são ortogonais, normalizados e não têm a mesma energia (não degenerados), sendo
a menor energia. Agora, adicionamos uma perturbação
que tem elementos de matriz específicos entre esses estados. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado
. Para isso, vamos precisar entender como isso afeta as energias do sistema e usar álgebra de matrizes básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz do Hamiltoniano perturbado
no espaço dos autoestados
e
. Sabemos que
já está diagonal nesses estados, com
e
nas diagonais. A perturbação
tem elementos de matriz dados por:
Então, a matriz total
fica assim:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores desse Hamiltoniano perturbado, precisamos resolver a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de
:
O determinante dessa matriz é:
Passo 5
Para encontrar os valores de
, igualamos o determinante a zero:
Vamos expandir a equação:
Isso é uma equação quadrática na forma
, onde:
Passo 6
Para resolver a equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a fórmula para
fica:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais dividindo ambos os termos dentro da raiz por 4:
Isso nos dá os dois autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado.
Resposta
Os autovalores exatos do Hamiltoniano perturbado são