Um pêndulo não muito comum é feito predendo um cordão a um cilindro horizontal de raio , enrrolando o cordão várias vezes ao redor do cilindro e em seguida predendo uma massa na extremidade solta. Em equilíbrio, a massa fica pendurada a uma distância verticalmente abaixo da aresta do cilindro. Determine a energia potencial se o pêndulo girou até um ângulo com a vertical. Mostre que, para ângulos pequenos, ela pode ser escrita na forma da lei de Hooke . Comente o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre um pêndulo meio diferente: em vez de ter um fio direto, ele está enrolado ao redor de um cilindro. A massa está equilibrada a uma distância abaixo do cilindro. A gente precisa descobrir a energia potencial quando o pêndulo é desviado de um ângulo com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial na mecânica clássica e, para ângulos pequenos, vamos relacionar com a Lei de Hooke.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a altura da massa muda quando o pêndulo gira até o ângulo . Imagine que quando está em equilíbrio, a massa está a uma altura . Quando gira, essa altura muda. Podemos usar trigonometria para achar a nova altura.

Passo 3

A mudança na altura da massa pode ser aproximada para pequenos ângulos usando . Para ângulos pequenos, , então .

Passo 4

A energia potencial gravitacional é dada por , onde é a altura. Então, a energia potencial da massa no ângulo é:
Isso já tem a forma da Lei de Hooke, que é .

Passo 5

Comparando as duas expressões, vemos que o “constante de mola” nesse caso é . Isso significa que quanto maior a massa ou a distância , maior será a “rigidez” do pêndulo em responder a pequenos deslocamentos angulares.

Resposta

A energia potencial do pêndulo para ângulos pequenos é , onde .

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