Um pêndulo não muito comum é feito predendo um cordão a um cilindro horizontal de raio
, enrrolando o cordão várias vezes ao redor do cilindro e em seguida predendo uma massa
na extremidade solta. Em equilíbrio, a massa fica pendurada a uma distância
verticalmente abaixo da aresta do cilindro. Determine a energia potencial se o pêndulo girou até um ângulo
com a vertical. Mostre que, para ângulos pequenos, ela pode ser escrita na forma da lei de Hooke
. Comente o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre um pêndulo meio diferente: em vez de ter um fio direto, ele está enrolado ao redor de um cilindro. A massa está equilibrada a uma distância
abaixo do cilindro. A gente precisa descobrir a energia potencial quando o pêndulo é desviado de um ângulo
com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial na mecânica clássica e, para ângulos pequenos, vamos relacionar com a Lei de Hooke.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a altura da massa muda quando o pêndulo gira até o ângulo
. Imagine que quando está em equilíbrio, a massa está a uma altura
. Quando gira, essa altura muda. Podemos usar trigonometria para achar a nova altura.
Passo 3
A mudança na altura
da massa pode ser aproximada para pequenos ângulos usando
. Para ângulos pequenos,
, então
.
Passo 4
A energia potencial gravitacional é dada por
, onde
é a altura. Então, a energia potencial da massa no ângulo
é:
Isso já tem a forma da Lei de Hooke, que é
.
Passo 5
Comparando as duas expressões, vemos que o “constante de mola”
nesse caso é
. Isso significa que quanto maior a massa
ou a distância
, maior será a “rigidez” do pêndulo em responder a pequenos deslocamentos angulares.
Resposta
A energia potencial do pêndulo para ângulos pequenos é
, onde
.