Na Seção 5.2, discutimos quatro maneiras distintas de representar o movimento de um oscilador hamônico simples unidimensional:
Para ter certeza de que você entendeu tudo isso, mostre que elas são equivalentes demonstrando as seguintes implicações: . Para cada fórmula, forneça uma expressão para as constantes , etc.) em termos das constantes da fórmula anterior.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o movimento de um oscilador harmônico simples unidimensional. A gente viu na Seção 5.2 que existem quatro maneiras diferentes de representar esse movimento usando funções matemáticas. O objetivo é provar que essas quatro representações são equivalentes, ou seja, que elas descrevem a mesma coisa de maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender como transformar uma fórmula na outra e relacionar as constantes de cada representação.

Passo 2

Vamos começar com a Representação I:
Essa é uma forma que usa exponenciais complexas para descrever o movimento. Para transformar isso na Representação II, que usa funções cosseno e seno, vamos usar a identidade de Euler:
Substituindo na Representação I:
Agora, vamos agrupar os termos de cosseno e seno:
Comparando com a Representação II:
Podemos identificar que:
Então, mostramos que I implica II e relacionamos as constantes.

Passo 3

Agora, vamos passar da Representação II para a Representação III:
Queremos escrever isso na forma de um único cosseno com fase:
Para fazer isso, usamos a fórmula de soma de ângulos:
Comparando com a Representação II:
Podemos encontrar e usando:
Assim, mostramos que II implica III e relacionamos as constantes.

Passo 4

Seguimos para a Representação IV:
Isso significa que estamos tomando a parte real de uma exponencial complexa. Vamos comparar com a Representação III:
Podemos escrever:
Então, identificamos que:
Portanto, mostramos que III implica IV e relacionamos as constantes.

Passo 5

Finalmente, vamos voltar da Representação IV para a Representação I:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Explicando passo a passo:
Mas comparando com a Representação I:
Podemos ver que, ao escolher , onde é o complexo conjugado de , asseguramos que a representação seja real. Assim, mostramos que IV implica I e relacionamos as constantes novamente.

Resposta

Dessa forma, demonstramos que as quatro representações do movimento de um oscilador harmônico simples unidimensional são equivalentes, estabelecendo as relações entre as constantes em cada forma.

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