Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, Equação 2.67
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
1)
, conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Determine
por meio da normalização de
. Resposta:
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de
na expressão do estado coerente
do oscilador harmônico. Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com estados estacionários e operadores de criação e aniquilação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de normalização dos estados quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é escrito o estado coerente
. Ele é uma combinação linear dos estados estacionários
, onde
representa o número de quanta de energia. A expressão geral fica assim:
Aqui,
é o coeficiente que a gente precisa encontrar, e
é um número complexo.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos garantir que o estado
esteja normalizado. Isso significa que a probabilidade total de encontrar o sistema em algum dos estados
deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 4
Vamos calcular
. Substituindo a expressão de
, temos:
Aqui, usamos o fato de que
(onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário).
Passo 5
A soma
é uma série conhecida que converge para
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 6
Como queremos que
, igualamos a expressão a 1:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Como
pode ter uma fase arbitrária, mas geralmente escolhemos
como um número real positivo, temos:
Resposta
Portanto, o valor de
é
.