Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico , Equação 2.67 , somente atinge o limite da incerteza ; em geral, 1) , conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor pode ser qualquer número complexo.)
Determine por meio da normalização de . Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de na expressão do estado coerente do oscilador harmônico. Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com estados estacionários e operadores de criação e aniquilação. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de normalização dos estados quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é escrito o estado coerente . Ele é uma combinação linear dos estados estacionários , onde representa o número de quanta de energia. A expressão geral fica assim:
Aqui, é o coeficiente que a gente precisa encontrar, e é um número complexo.

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos garantir que o estado esteja normalizado. Isso significa que a probabilidade total de encontrar o sistema em algum dos estados deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso por:

Passo 4

Vamos calcular . Substituindo a expressão de , temos:
Aqui, usamos o fato de que (onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário).

Passo 5

A soma é uma série conhecida que converge para . Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 6

Como queremos que , igualamos a expressão a 1:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Como pode ter uma fase arbitrária, mas geralmente escolhemos como um número real positivo, temos:

Resposta

Portanto, o valor de é .

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