O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que e são números reais positivos.
Suponha que o sistema seja iniciado no estado genérico
com . Descubra os valores esperados de e em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema quântico com três níveis de energia, representado pelo Hamiltoniano. Além disso, temos dois outros observáveis, e , cada um representado por matrizes específicas. O sistema começa em um estado inicial com componentes , e , que estão normalizados. Nosso objetivo é encontrar os valores esperados (ou seja, as médias) de , e no instante inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de mecânica quântica, especificamente como calcular valores esperados usando produtos internos e matrizes de operadores observáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado do Hamiltoniano no estado .
A fórmula para o valor esperado de um operador em um estado é:
No nosso caso, .
Como é uma matriz diagonal, o cálculo fica mais simples:
Como os coeficientes podem ser complexos, tomamos o conjugado complexo , mas como estamos lidando com probabilidades, os termos ficam .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado do observável .
Usando a mesma fórmula:
Primeiro, vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Agora, fazemos o produto interno com :
Note que , mas manteremos assim para generalidade.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o valor esperado do observável .
Usando a fórmula:
Multiplicamos a matriz pelo vetor :
Agora, fazemos o produto interno com :
Assim como antes, .
Resposta
Os valores esperados no instante são:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.38b