Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico , Equação 2.67 , somente atinge o limite da incerteza ; em geral, 1) , conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor pode ser qualquer número complexo.)
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
Demonstre que os coeficientes de expansão são

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador harmônico e queremos encontrar os coeficientes na expansão do estado coerente em termos dos estados estacionários . Para isso, precisamos usar o fato de que é uma autofunção do operador de abaixamento , ou seja:
Aqui, é um número complexo. Nosso objetivo é demonstrar que os coeficientes são dados por:

Passo 2

Vamos começar expandindo o estado coerente em termos dos estados estacionários :
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para em função de e .

Passo 3

Aplicamos o operador de abaixamento ao estado coerente :
Sabemos que o operador de abaixamento age nos estados da seguinte forma:

Passo 4

Substituindo a ação de na expressão anterior, temos:
Vamos fazer uma mudança de índice para simplificar. Seja , então . Substituindo:
Como começa em , mas para não existe, podemos começar a soma a partir de :

Passo 5

Agora, sabemos que . Substituindo a expansão de :
Para que essas duas somas sejam iguais para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais:

Passo 6

Podemos rearranjar essa equação para encontrar em termos de :
Isso nos dá uma rela��ão de recorrência para os coeficientes .

Passo 7

Vamos aplicar essa relação de recorrência para encontrar uma expressão geral para . Começando com :
Para :
Continuando esse processo, para um genérico:

Resposta

Os coeficientes de expansão são dados por:

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