Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, Equação 2.67
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
1)
, conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
Demonstre que os coeficientes de expansão são
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador harmônico e queremos encontrar os coeficientes
na expansão do estado coerente
em termos dos estados estacionários
. Para isso, precisamos usar o fato de que
é uma autofunção do operador de abaixamento
, ou seja:
Aqui,
é um número complexo. Nosso objetivo é demonstrar que os coeficientes
são dados por:
Passo 2
Vamos começar expandindo o estado coerente
em termos dos estados estacionários
:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
em função de
e
.
Passo 3
Aplicamos o operador de abaixamento
ao estado coerente
:
Sabemos que o operador de abaixamento age nos estados
da seguinte forma:
Passo 4
Substituindo a ação de
na expressão anterior, temos:
Vamos fazer uma mudança de índice para simplificar. Seja
, então
. Substituindo:
Como
começa em
, mas
para
não existe, podemos começar a soma a partir de
:
Passo 5
Agora, sabemos que
. Substituindo a expansão de
:
Para que essas duas somas sejam iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
Passo 6
Podemos rearranjar essa equação para encontrar
em termos de
:
Isso nos dá uma rela��ão de recorrência para os coeficientes
.
Passo 7
Vamos aplicar essa relação de recorrência para encontrar uma expressão geral para
. Começando com
:
Para
:
Continuando esse processo, para um
genérico:
Resposta
Os coeficientes de expansão são dados por: