Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, Equação 2.67
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
1)
, conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Calcule
no estado
. Dica: use a técnica do Exemplo 2.5 e lembre-se de que
é o conjugado hermitiano de
. Não suponha que
seja real.
Calcule
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre estados coerentes no oscilador harmônico. Esses estados são combinações especiais dos estados estacionários (
) que minimizam o produto das incertezas de posição (
) e momento (
). Nosso objetivo aqui é calcular os valores esperados de posição (
), posição ao quadrado (
), momento (
) e momento ao quadrado (
) no estado coerente
. Para isso, vamos usar a definição do operador de abaixamento (
) e sua relação com o estado coerente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o estado coerente
é um autovalor do operador de abaixamento
. Isso significa que:
Aqui,
é um número complexo. Também sabemos que o operador
é o conjugado hermitiano de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos expressar os operadores de posição (
) e momento (
) em termos dos operadores de criação (
) e de abaixamento (
):
Aqui,
é a massa e
é a frequência do oscilador.
Passo 4
Para encontrar
, vamos calcular a expectativa de
no estado
:
Sabemos que
e, portanto,
.
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Como
pode ser complexo,
.
Passo 6
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Explicando melhor, expandimos o quadrado:
Passo 8
Sabemos que
(pela relação de comutação
). Então:
Passo 9
Por ser
um estado coerente, sabemos que
e
. Além disso,
e
. Também,
.
Passo 10
Substituindo esses valores:
Passo 11
Simplificando:
Passo 12
Agora, vamos calcular
de forma semelhante:
Note que
.
Passo 13
Então:
A convenção pode variar, mas o importante é que está relacionado à parte imaginária de
.
Passo 14
Finalmente, vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Passo 15
Usando a relação de comutação
:
Resposta
Assim, os valores esperados no estado coerente
são:
Esses resultados mostram como as expectativas dos operadores de posição e momento, assim como suas variâncias, dependem do parâmetro complexo
que define o estado coerente.