Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico , Equação 2.67 , somente atinge o limite da incerteza ; em geral, 1) , conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor pode ser qualquer número complexo.)
Calcule no estado . Dica: use a técnica do Exemplo 2.5 e lembre-se de que é o conjugado hermitiano de . Não suponha que seja real.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre estados coerentes no oscilador harmônico. Esses estados são combinações especiais dos estados estacionários ( ) que minimizam o produto das incertezas de posição ( ) e momento ( ). Nosso objetivo aqui é calcular os valores esperados de posição ( ), posição ao quadrado ( ), momento ( ) e momento ao quadrado ( ) no estado coerente . Para isso, vamos usar a definição do operador de abaixamento ( ) e sua relação com o estado coerente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o estado coerente é um autovalor do operador de abaixamento . Isso significa que:
Aqui, é um número complexo. Também sabemos que o operador é o conjugado hermitiano de , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos expressar os operadores de posição ( ) e momento ( ) em termos dos operadores de criação ( ) e de abaixamento ( ):
Aqui, é a massa e é a frequência do oscilador.

Passo 4

Para encontrar , vamos calcular a expectativa de no estado :
Sabemos que e, portanto, .

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Como pode ser complexo, .

Passo 6

Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Explicando melhor, expandimos o quadrado:

Passo 8

Sabemos que (pela relação de comutação ). Então:

Passo 9

Por ser um estado coerente, sabemos que e . Além disso, e . Também, .

Passo 10

Substituindo esses valores:

Passo 11

Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos calcular de forma semelhante:
Note que .

Passo 13

Então:
A convenção pode variar, mas o importante é que está relacionado à parte imaginária de .

Passo 14

Finalmente, vamos calcular :
Expandindo o quadrado:

Passo 15

Usando a relação de comutação :

Resposta

Assim, os valores esperados no estado coerente são:
Esses resultados mostram como as expectativas dos operadores de posição e momento, assim como suas variâncias, dependem do parâmetro complexo que define o estado coerente.

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