Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta: .
Calcule para o pacote de onda gaussiano móvel (Problema 2.43) e monte para esse caso. Monte também , e note que é independente do tempo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica que envolve a equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Precisamos calcular a função de onda no instante inicial para um pacote de onda gaussiano móvel, depois encontrar para esse caso e, por fim, calcular , mostrando que é independente do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. A equação geral é:
Essa equação descreve como a função de onda evolui no tempo para uma partícula sem potenciais externos.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial é dada por:
Aqui, é a função de onda no instante inicial ( ).

Passo 4

Agora, vamos calcular para um pacote de onda gaussiano móvel. Um pacote de onda gaussiano é uma combinação de ondas com diferentes momentos, formando uma distribuição gaussiana em momentum. A forma geral é:
Onde:
  • é o momento central do pacote de onda.
  • é a largura do pacote de onda no espaço de momento.

Passo 5

Com determinada, podemos montar usando a solução da equação de Schrödinger:

Passo 6

Agora, vamos calcular , que representa a densidade de probabilidade no espaço de momento:
Sabemos que , então:

Passo 7

Observamos que não depende do tempo , ou seja, a densidade de probabilidade no espaço de momento permanece constante ao longo do tempo para um pacote de onda gaussiano móvel.

Resposta

Portanto, para um pacote de onda gaussiano móvel, temos:
E a densidade de probabilidade é:
Percebemos que é independente do tempo.

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