Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta:
.
Calcule
por meio de avaliação das integrais apropriadas que envolvem
e compare suas respostas ao Problema 2.43.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício que envolve a Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Basicamente, vamos trabalhar com mecânica quântica e precisar usar um pouco de cálculo para resolver as integrais que aparecem. Vamos precisar entender como a função de onda evolui no tempo e como calcular os valores esperados dos observáveis, como o momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Schrödinger dependente do tempo (TDSE). Ela descreve como a função de onda de uma partícula quântica evolui ao longo do tempo. No espaço de posição, a TDSE é:
Como estamos tratando de uma partícula livre, o potencial
. Agora, vamos mudar para o espaço de momento, onde a equação fica um pouco diferente.
Passo 3
No espaço de momento, a função de onda é
, que é a transformada de Fourier de
. A TDSE no espaço de momento para uma partícula livre fica:
Isso é porque, no espaço de momento, o operador de energia cinética
age diretamente multiplicando a função de onda.
Passo 4
Agora, queremos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos reescrever a equação:
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem, cuja solução geral é uma exponencial.
Passo 5
Integrando a equação, temos:
Aqui,
é a função de onda no instante inicial
.
Passo 6
Então, a solução da Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre é:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores esperados
e
. O valor esperado de um observável
é dado por:
No nosso caso,
e
.
Passo 8
Vamos primeiro calcular
:
Substituindo
:
As exponenciais se cancelam:
Isso mostra que
é constante no tempo para uma partícula livre.
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Novamente, as exponenciais se cancelam:
Assim como
,
também é constante no tempo.
Passo 10
Comparando com o Problema 2.43, que provavelmente trata de propriedades semelhantes no espaço de posição, percebemos que no espaço de momento, os valores esperados de
e
não dependem do tempo para uma partícula livre. Isso faz sentido, já que não há potenciais agindo sobre a partícula para alterar seu momento.
Resposta
A equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre é:
Além disso, os valores esperados
e
são constantes no tempo e podem ser calculados utilizando: