Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta: .
Calcule por meio de avaliação das integrais apropriadas que envolvem e compare suas respostas ao Problema 2.43.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício que envolve a Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Basicamente, vamos trabalhar com mecânica quântica e precisar usar um pouco de cálculo para resolver as integrais que aparecem. Vamos precisar entender como a função de onda evolui no tempo e como calcular os valores esperados dos observáveis, como o momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Schrödinger dependente do tempo (TDSE). Ela descreve como a função de onda de uma partícula quântica evolui ao longo do tempo. No espaço de posição, a TDSE é:
Como estamos tratando de uma partícula livre, o potencial . Agora, vamos mudar para o espaço de momento, onde a equação fica um pouco diferente.

Passo 3

No espaço de momento, a função de onda é , que é a transformada de Fourier de . A TDSE no espaço de momento para uma partícula livre fica:
Isso é porque, no espaço de momento, o operador de energia cinética age diretamente multiplicando a função de onda.

Passo 4

Agora, queremos resolver essa equação diferencial para encontrar . Vamos reescrever a equação:
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem, cuja solução geral é uma exponencial.

Passo 5

Integrando a equação, temos:
Aqui, é a função de onda no instante inicial .

Passo 6

Então, a solução da Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre é:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores esperados e . O valor esperado de um observável é dado por:
No nosso caso, e .

Passo 8

Vamos primeiro calcular :
Substituindo :
As exponenciais se cancelam:
Isso mostra que é constante no tempo para uma partícula livre.

Passo 9

Agora, vamos calcular :
Substituindo :
Novamente, as exponenciais se cancelam:
Assim como , também é constante no tempo.

Passo 10

Comparando com o Problema 2.43, que provavelmente trata de propriedades semelhantes no espaço de posição, percebemos que no espaço de momento, os valores esperados de e não dependem do tempo para uma partícula livre. Isso faz sentido, já que não há potenciais agindo sobre a partícula para alterar seu momento.

Resposta

A equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre é:
Além disso, os valores esperados e são constantes no tempo e podem ser calculados utilizando:

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