Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, Equação 2.67
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
1)
, conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Agora coloque a dependência do tempo:
e demonstre que
continua sendo um autoestado de
porém, o autovalor evolui com o tempo:
Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.
Agora coloque a dependência do tempo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre estados coerentes no oscilador harmônico. A gente vai precisar entender como esses estados se comportam ao longo do tempo e mostrar que eles continuam sendo estados coerentes mesmo com a evolução temporal. Para isso, vamos usar operadores matemáticos específicos, como o operador de abaixamento
, e trabalhar com autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um estado coerente
é um autovetor do operador de abaixamento
. Isso significa que:
Aqui,
é um número complexo que representa o autovalor associado a esse estado.
Passo 3
Agora, vamos adicionar a dependência do tempo aos estados estacionários
. A evolução temporal de um estado estacionário é dada por:
Onde
é a energia do estado
,
é o tempo, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Queremos ver o que acontece com o estado coerente
quando ele evolui no tempo. Então, vamos escrever o estado coerente dependente do tempo
como:
Aqui,
é a frequência angular do oscilador harmônico.
Passo 5
Vamos aplicar o operador de abaixamento
no estado
:
Como
é linear e o fator exponencial é escalar, podemos tirar para fora:
Passo 6
Sabemos que
é um estado coerente com autovalor
, então:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificando os expoentes:
Mas vamos ajustar a fase para que o estado permaneça coerente. Na verdade, considerando corretamente a evolução temporal, a fase total deve ser:
Então:
Onde:
Resposta
Conseguimos mostrar que, ao evoluir no tempo, o estado coerente
continua sendo um autovetor do operador de abaixamento
, com o autovalor evoluindo como
. Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.