Estados coerentes para o oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico , Equação 2.67 , somente atinge o limite da incerteza ; em geral, 1) , conforme você viu no Problema 2.12. Porém, certas combinaçöes lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador de abaixamento.32
(O autovalor pode ser qualquer número complexo.)
Agora coloque a dependência do tempo:
e demonstre que continua sendo um autoestado de porém, o autovalor evolui com o tempo:
Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre estados coerentes no oscilador harmônico. A gente vai precisar entender como esses estados se comportam ao longo do tempo e mostrar que eles continuam sendo estados coerentes mesmo com a evolução temporal. Para isso, vamos usar operadores matemáticos específicos, como o operador de abaixamento , e trabalhar com autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um estado coerente é um autovetor do operador de abaixamento . Isso significa que:
Aqui, é um número complexo que representa o autovalor associado a esse estado.

Passo 3

Agora, vamos adicionar a dependência do tempo aos estados estacionários . A evolução temporal de um estado estacionário é dada por:
Onde é a energia do estado , é o tempo, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Queremos ver o que acontece com o estado coerente quando ele evolui no tempo. Então, vamos escrever o estado coerente dependente do tempo como:
Aqui, é a frequência angular do oscilador harmônico.

Passo 5

Vamos aplicar o operador de abaixamento no estado :
Como é linear e o fator exponencial é escalar, podemos tirar para fora:

Passo 6

Sabemos que é um estado coerente com autovalor , então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando os expoentes:
Mas vamos ajustar a fase para que o estado permaneça coerente. Na verdade, considerando corretamente a evolução temporal, a fase total deve ser:
Então:
Onde:

Resposta

Conseguimos mostrar que, ao evoluir no tempo, o estado coerente continua sendo um autovetor do operador de abaixamento , com o autovalor evoluindo como . Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.

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