O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
em que e são números reais (suponha ).
Se o sistema se inicia no estado
qual é a ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema quântico com três níveis de energia, e o Hamiltoniano desse sistema é representado por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar o estado do sistema no tempo , chamado de , sabendo que o sistema começa no estado .
Matéria envolvida: Mecânica Quântica, especificamente a evolução temporal de estados quânticos usando o Hamiltoniano.
O que vamos precisar:
Entender como a evolução temporal funciona em quântica.
Saber como aplicar o operador de evolução temporal a um estado inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o Hamiltoniano :
Aqui, , e são números reais, e a condição nos garante que os níveis de energia sejam distintos.
Passo 3
O estado inicial do sistema é:
Esse vetor representa o segundo estado do sistema.
Passo 4
Na Mecânica Quântica, a evolução temporal de um estado é dada pelo operador de evolução temporal:
Como é um dos vetores da base, vamos verificar se ele é um autovetor do Hamiltoniano .
Passo 5
Aplicando o Hamiltoniano ao estado :
Isso mostra que é um autovetor de com autovalor .
Passo 6
Quando um estado é um autovetor do Hamiltoniano, a evolução temporal simplifica bastante. A regra é:
Isso significa que o estado apenas adquire uma fase que depende do tempo e do autovalor .
Resposta
Portanto, o estado do sistema no tempo é:
Ou, de forma mais simplificada:
Isso significa que o sistema permanece no segundo estado, apenas adquirindo uma fase temporal devido à energia associada a esse estado.
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.37a