O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
em que e são números reais (suponha ).
Se o sistema se inicia no estado
qual é a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema quântico com três níveis de energia, e o Hamiltoniano desse sistema é representado por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar o estado do sistema no tempo , chamado de , sabendo que o sistema começa no estado .
Matéria envolvida: Mecânica Quântica, especificamente a evolução temporal de estados quânticos usando o Hamiltoniano.
O que vamos precisar:
  • Entender como a evolução temporal funciona em quântica.
  • Saber como aplicar o operador de evolução temporal a um estado inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o Hamiltoniano :
Aqui, , e são números reais, e a condição nos garante que os níveis de energia sejam distintos.

Passo 3

O estado inicial do sistema é:
Esse vetor representa o segundo estado do sistema.

Passo 4

Na Mecânica Quântica, a evolução temporal de um estado é dada pelo operador de evolução temporal:
Como é um dos vetores da base, vamos verificar se ele é um autovetor do Hamiltoniano .

Passo 5

Aplicando o Hamiltoniano ao estado :
Isso mostra que é um autovetor de com autovalor .

Passo 6

Quando um estado é um autovetor do Hamiltoniano, a evolução temporal simplifica bastante. A regra é:
Isso significa que o estado apenas adquire uma fase que depende do tempo e do autovalor .

Resposta

Portanto, o estado do sistema no tempo é:
Ou, de forma mais simplificada:
Isso significa que o sistema permanece no segundo estado, apenas adquirindo uma fase temporal devido à energia associada a esse estado.

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