Suponha que
para constantes e .
Calcule a função de onda para o espaço de momento e certifique-se de que ela esteja normalizada.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá uma função de onda no espaço das posições, que é
onde e são constantes, e varia de a . Nosso objetivo é encontrar a função de onda no espaço dos momentos, , e garantir que ela esteja normalizada. Isso envolve usar a Transformada de Fourier para mudar do espaço das posições para o espaço dos momentos e depois ajustar a constante para a normalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função de onda no espaço dos momentos, , é obtida pela Transformada de Fourier da função de onda no espaço das posições, . A fórmula da Transformada de Fourier é:
onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Vamos substituir na expressão da Transformada de Fourier:
Agora, precisamos calcular essa integral. Sabemos que a integral de de a é uma integral conhecida, que resulta em:
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 4

Substituindo o resultado da integral na expressão de :

Passo 5

Agora, precisamos normalizar . A condição de normalização é:
Vamos calcular :
Integrando:
Para que seja igual a 1:

Resposta

A função de onda no espaço dos momentos, normalizada, é
Portanto,

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