Princípio da incerteza expandido.
prinápio da incerteza generalizado (Equação 3.62) afirma que
em que
.
Demonstre que a equação pode ser reforçada para dizer
em que
. Dica: mantenha o termo
na Equação 3.60.
Demonstre que a equação pode ser reforçada para dizer
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está falando sobre o Princípio da Incerteza na Mecânica Quântica. Basicamente, a gente sabe que certas grandezas, como posição e momento, não podem ser medidas com precisão absoluta ao mesmo tempo. Aqui, estamos lidando com um princípio mais geral que envolve dois operadores
e
. Para resolver este exercício, vamos precisar entender conceitos como variância, comutador de operadores e como manipular essas expressões matemáticas para chegar na desigualdade fortalecida que o enunciado pede.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a variância de um operador. Para um operador
, a variância
é definida como:
Isso basicamente mede a “dispersão” dos valores que
pode assumir em um estado quântico.
Passo 3
O enunciado nos dá a desigualdade inicial do Princípio da Incerteza generalizado:
onde
e
é o comutador dos operadores
e
.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade pode ser melhorada para:
onde
.
Passo 5
Para isso, vamos usar um truque matemático envolvendo números complexos. Vamos considerar o produto
, onde
e
, e
é um número real.
Passo 6
Sabemos que o módulo ao quadrado de qualquer número complexo é não-negativo. Assim:
Passo 7
Expandindo essa expressão, temos:
Aqui, usamos o fato de que
e
.
Passo 8
Separando a parte real e imaginária, temos:
Para minimizar o lado direito, escolhemos
de forma que as duas partes fiquem equilibradas.
Passo 9
Fazendo os ajustes matemáticos necessários e levando em conta a definição de
, chegamos à desigualdade fortalecida:
Resposta
Portanto, demonstramos que: