Princípio da incerteza expandido. prinápio da incerteza generalizado (Equação 3.62) afirma que
em que .
Demonstre que a equação pode ser reforçada para dizer
em que . Dica: mantenha o termo na Equação 3.60.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está falando sobre o Princípio da Incerteza na Mecânica Quântica. Basicamente, a gente sabe que certas grandezas, como posição e momento, não podem ser medidas com precisão absoluta ao mesmo tempo. Aqui, estamos lidando com um princípio mais geral que envolve dois operadores e . Para resolver este exercício, vamos precisar entender conceitos como variância, comutador de operadores e como manipular essas expressões matemáticas para chegar na desigualdade fortalecida que o enunciado pede.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a variância de um operador. Para um operador , a variância é definida como:
Isso basicamente mede a “dispersão” dos valores que pode assumir em um estado quântico.

Passo 3

O enunciado nos dá a desigualdade inicial do Princípio da Incerteza generalizado:
onde e é o comutador dos operadores e .

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade pode ser melhorada para:
onde .

Passo 5

Para isso, vamos usar um truque matemático envolvendo números complexos. Vamos considerar o produto , onde e , e é um número real.

Passo 6

Sabemos que o módulo ao quadrado de qualquer número complexo é não-negativo. Assim:

Passo 7

Expandindo essa expressão, temos:
Aqui, usamos o fato de que e .

Passo 8

Separando a parte real e imaginária, temos:
Para minimizar o lado direito, escolhemos de forma que as duas partes fiquem equilibradas.

Passo 9

Fazendo os ajustes matemáticos necessários e levando em conta a definição de , chegamos à desigualdade fortalecida:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

Exercícios de Livros Relacionados