Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta:
.
Demonstre que
(em que o índice 0 representa o estacionário gaussiano) e comente esse resultado.
Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Isso faz parte da mecânica quântica, especificamente no estudo de como partículas se comportam em diferentes estados. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação de Schrödinger se aplica no espaço de momento e como calcular a expectativa da energia Hamiltoniana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo para uma partícula livre. No espaço de posição, ela é dada por:
Mas a gente quer no espaço de momento, então precisamos fazer a transformação de Fourier. A função de onda no espaço de momento,
, está relacionada à função de onda no espaço de posição,
, por:
Passo 3
Ao aplicarmos essa transformação à equação de Schrödinger, a equação no espaço de momento para uma partícula livre fica:
Essa equação mostra como a função de onda evolui no tempo no espaço de momento.
Passo 4
Agora, para resolver essa equação diferencial simples em relação ao tempo, podemos separar as variáveis. A solução geral será da forma:
Aqui,
é a condição inicial da função de onda no espaço de momento.
Passo 5
Agora, vamos demonstrar que a expectativa da energia Hamiltoniana,
, é igual a
. A energia Hamiltoniana para uma partícula livre é dada por:
A expectativa dessa energia é:
Passo 6
Vamos separar
em duas partes:
Aqui,
é a expectativa do momento, e
representa a parte estacionária, que no caso de um estado gaussiano estacionário, é a energia associada às flutuações ou à “largura” da distribuição de momentum.
Passo 7
Essa decomposição mostra que a energia total é composta pela energia cinética média devido ao momento esperado da partícula, mais a energia residual da distribuição de momentum. Isso faz sentido porque uma partícula com um momento bem definido (valores de
próximos a
) terá energia cinética próxima a
, enquanto qualquer dispersão no valor de
contribui para a energia residual
.
Resposta
A expectativa da energia Hamiltoniana é dada por
, onde
representa a energia do estado estacionário gaussiano. Isso mostra que a energia total é composta pela energia cinética média associada ao momento esperado da partícula mais a energia residual devido à distribuição de momentum.