Suponha que
para constantes e .
Verifique o princípio da incerteza de Heisenberg para esse estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda definida para todo real. Nosso objetivo é verificar o Princípio da Incerteza de Heisenberg para esse estado. Isso envolve calcular a incerteza na posição e na quantidade de movimento , e confirmar se o produto satisfaz a desigualdade de Heisenberg: .

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor da constante . A condição de normalização é:
Substituindo :
Precisamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 3

Calculando a integral:
Conhecendo a integral padrão:
Então,

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado da posição :
Substituindo :
Observando que a função integranda é ímpar (pois é ímpar e o denominador é par), a integral de a será zero:

Passo 5

Vamos calcular :
Substituindo :
Usando uma integral padrão:
Então,
Agora, a incerteza na posição é:

Passo 6

Vamos calcular o valor esperado do momentum . Sabendo que:
Calculando a derivada de :
Substituindo na expressão de :
Novamente, a função integranda é ímpar, então a integral é zero:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Calculando a segunda derivada de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Calculando as integrais padrão:
Substituindo:
Observamos que um valor negativo para não faz sentido físico, indicando que podemos ter cometido algum erro no cálculo. De fato, ao calcular a segunda derivada, esquecemos de considerar o sinal correto:
A expressão correta é:

Passo 8

Agora, a incerteza no momentum é:

Passo 9

Finalmente, vamos verificar o Princípio da Incerteza de Heisenberg:
Como , o Princípio da Incerteza está satisfeito para esse estado.

Resposta

Verificamos que , o que satisfaz o Princípio da Incerteza de Heisenberg, já que .

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