Suponha que
para constantes
e
.
Verifique o princípio da incerteza de Heisenberg para esse estado.
Verifique o princípio da incerteza de Heisenberg para esse estado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda
definida para todo
real. Nosso objetivo é verificar o Princípio da Incerteza de Heisenberg para esse estado. Isso envolve calcular a incerteza na posição
e na quantidade de movimento
, e confirmar se o produto
satisfaz a desigualdade de Heisenberg:
.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor da constante
. A condição de normalização é:
Substituindo
:
Precisamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 3
Calculando a integral:
Conhecendo a integral padrão:
Então,
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado da posição
:
Substituindo
:
Observando que a função integranda é ímpar (pois
é ímpar e o denominador é par), a integral de
a
será zero:
Passo 5
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Usando uma integral padrão:
Então,
Agora, a incerteza na posição é:
Passo 6
Vamos calcular o valor esperado do momentum
. Sabendo que:
Calculando a derivada de
:
Substituindo na expressão de
:
Novamente, a função integranda é ímpar, então a integral é zero:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Calculando a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Calculando as integrais padrão:
Substituindo:
Observamos que um valor negativo para
não faz sentido físico, indicando que podemos ter cometido algum erro no cálculo. De fato, ao calcular a segunda derivada, esquecemos de considerar o sinal correto:
A expressão correta é:
Passo 8
Agora, a incerteza no momentum é:
Passo 9
Finalmente, vamos verificar o Princípio da Incerteza de Heisenberg:
Como
, o Princípio da Incerteza está satisfeito para esse estado.
Resposta
Verificamos que
, o que satisfaz o Princípio da Incerteza de Heisenberg, já que
.