Para uma função , que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que é qualquer distância constante). Por essa razão, é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para uma função que pode ser expandida em uma série de Taylor, a tradução dessa função por uma distância constante pode ser representada por uma exponencial envolvendo o operador de momento . Ou seja, queremos provar que:
Esse assunto está ligado à mecânica quântica, especificamente ao conceito de operadores geradores de transformações, como a transladação no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor e entender como operadores funcionam na teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor. Se temos uma função que é diferenciável várias vezes, podemos escrever sua expansão em torno de um ponto da seguinte maneira:
Isso basicamente expressa a função traduzida como uma soma infinita de termos envolvendo as derivadas de em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a exponencial do operador . Sabemos que a exponencial de um operador é definida pela série de potências:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, precisamos entender como o operador de momento age sobre a função . Na mecânica quântica, sabemos que:
Então, substituindo na expressão da exponencial:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, aplicando esse operador na função :
Isso resulta exatamente na série de Taylor que escrevemos no Passo 2:

Resposta

Portanto, demonstramos que:
Isso mostra que o operador realmente atua como o gerador de translações no espaço para a função .

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