Para uma função
, que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que
é qualquer distância constante). Por essa razão,
é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para uma função
que pode ser expandida em uma série de Taylor, a tradução dessa função por uma distância constante
pode ser representada por uma exponencial envolvendo o operador de momento
. Ou seja, queremos provar que:
Esse assunto está ligado à mecânica quântica, especificamente ao conceito de operadores geradores de transformações, como a transladação no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor e entender como operadores funcionam na teoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor. Se temos uma função
que é diferenciável várias vezes, podemos escrever sua expansão em torno de um ponto
da seguinte maneira:
Isso basicamente expressa a função traduzida
como uma soma infinita de termos envolvendo as derivadas de
em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a exponencial do operador
. Sabemos que a exponencial de um operador
é definida pela série de potências:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, precisamos entender como o operador de momento
age sobre a função
. Na mecânica quântica, sabemos que:
Então, substituindo na expressão da exponencial:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, aplicando esse operador na função
:
Isso resulta exatamente na série de Taylor que escrevemos no Passo 2:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Isso mostra que o operador
realmente atua como o gerador de translações no espaço para a função
.