O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que e são números reais positivos.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de e B.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores normalizados para três matrizes: o Hamiltoniano e dois observáveis, e . Para isso, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores de matrizes, que é um conceito fundamental em álgebra linear aplicado na física quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores e autovetores do Hamiltoniano . A matriz é dada por:
Como é uma matriz diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores normalizados de . Como é diagonal, os autovetores são facilmente identificados como os vetores canônicos:
Esses vetores já estão normalizados, pois a soma dos quadrados de suas entradas é igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica . Calculando o determinante:
Resolvendo e :
Passo 5
Agora, encontramos os autovalores de : , e . Vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:
(Usamos para normalizar o vetor, ou seja, garantir que sua magnitude seja 1.)
Passo 6
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:
Passo 7
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá , e qualquer. Um autovetor correspondente é:
(Esse vetor já está normalizado.)
Passo 8
Finalmente, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica :
Isso nos dá:
Passo 9
Agora, encontramos os autovalores de : , e . Vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e , resultando em . Um autovetor correspondente é:
(Após normalização.)
Passo 10
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:
Passo 11
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores e os autovetores normalizados são:
Hamiltoniano
Autovalores: , ,
Autovetores:
Observável
Autovalores: , ,
Autovetores normalizados:
Observável
Autovalores: , ,
Autovetores normalizados:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.38a