O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que e são números reais positivos.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de e B.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores normalizados para três matrizes: o Hamiltoniano e dois observáveis, e . Para isso, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores de matrizes, que é um conceito fundamental em álgebra linear aplicado na física quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores e autovetores do Hamiltoniano . A matriz é dada por:
Como é uma matriz diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores normalizados de . Como é diagonal, os autovetores são facilmente identificados como os vetores canônicos:
Esses vetores já estão normalizados, pois a soma dos quadrados de suas entradas é igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica . Calculando o determinante:
Resolvendo e :

Passo 5

Agora, encontramos os autovalores de : , e . Vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:
(Usamos para normalizar o vetor, ou seja, garantir que sua magnitude seja 1.)

Passo 6

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:

Passo 7

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá , e qualquer. Um autovetor correspondente é:
(Esse vetor já está normalizado.)

Passo 8

Finalmente, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica :
Isso nos dá:

Passo 9

Agora, encontramos os autovalores de : , e . Vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e , resultando em . Um autovetor correspondente é:
(Após normalização.)

Passo 10

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:

Passo 11

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá e . Um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores e os autovetores normalizados são:
  • Hamiltoniano
    • Autovalores: , ,
    • Autovetores:
  • Observável
    • Autovalores: , ,
    • Autovetores normalizados:
  • Observável
    • Autovalores: , ,
    • Autovetores normalizados:

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