O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
em que e são números reais (suponha ).
Se o sistema se inicia no estado
qual é a ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um sistema com três níveis de energia descrito por um Hamiltoniano dado por uma matriz:
Os elementos , e são números reais e . O sistema começa no estado inicial . Nosso objetivo é encontrar o estado em qualquer tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a evolução temporal de estados quânticos. Vamos seguir passo a passo para encontrar .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores do Hamiltoniano . Isso significa resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Vamos calcular o determinante:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Fatorando :
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Das equações:
Isso implica que . Podemos escolher , então e .
Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Simplificando:
⇒
⇒
⇒
Escolhemos , então e .
Autovetor:
Para :
De maneira similar ao passo anterior, encontramos que:
Passo 4
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos expressar o estado inicial como uma combinação linear dos autovetores:
Substituindo os autovetores:
Resolvendo para , e :
Temos duas equações com três incógnitas. Podemos escolher para simplificar:
⇒
⇒
Factorizando :
Resolvendo para :
Então,
Portanto, os coeficientes são:
Passo 5
A evolução temporal do estado quântico é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o estado em qualquer tempo é dado por:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.37b