Um operador anti-hermitiano é igual a menos o seu conjugado hermitiano:
Demonstre que o valor esperado de um operador anti-hermitiano é imaginário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores anti-hermitianos, que são aqueles que são iguais a menos o seu conjugado hermitiano, ou seja:
O objetivo é mostrar que o valor esperado (ou expectativa) desse operador anti-hermitiano é um número imaginário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado e como as propriedades dos operadores hermitianos e anti-hermitianos funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado de um operador. Se temos um operador e um estado quântico , o valor esperado de nesse estado é dado por:
Esse valor esperado nos dá uma média do que esperar medir se aplicarmos o operador no estado várias vezes.

Passo 3

Agora, sabemos que é anti-hermitiano, ou seja:
Isso significa que o conjugado hermitiano de é igual a menos . Lembre-se que o operador adjunto (ou conjugado hermitiano) envolve transpor e tomar o conjugado complexo dos elementos do operador.

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado e seu conjugado para ver o que acontece. Primeiro, temos:
Agora, vamos tomar o conjugado desse valor esperado:
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Então, juntando as duas expressões, temos:
Isso significa que o valor esperado é igual ao seu próprio negativo conjugado. Vamos chamar , onde e são números reais. Substituindo na equação acima:
Comparando as partes reais e imaginárias:
Então, a parte real é zero, e o valor esperado fica apenas com a parte imaginária:

Resposta

Portanto, o valor esperado de um operador anti-hermitiano é um número imaginário puro.

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