Um operador anti-hermitiano é igual a menos o seu conjugado hermitiano:
Demonstre que o valor esperado de um operador anti-hermitiano é imaginário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores anti-hermitianos, que são aqueles que são iguais a menos o seu conjugado hermitiano, ou seja:
O objetivo é mostrar que o valor esperado (ou expectativa) desse operador anti-hermitiano é um número imaginário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado e como as propriedades dos operadores hermitianos e anti-hermitianos funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado de um operador. Se temos um operador
e um estado quântico
, o valor esperado de
nesse estado é dado por:
Esse valor esperado nos dá uma média do que esperar medir se aplicarmos o operador
no estado
várias vezes.
Passo 3
Agora, sabemos que
é anti-hermitiano, ou seja:
Isso significa que o conjugado hermitiano de
é igual a menos
. Lembre-se que o operador adjunto (ou conjugado hermitiano) envolve transpor e tomar o conjugado complexo dos elementos do operador.
Passo 4
Vamos calcular o valor esperado e seu conjugado para ver o que acontece. Primeiro, temos:
Agora, vamos tomar o conjugado desse valor esperado:
Mas sabemos que
, então:
Passo 5
Então, juntando as duas expressões, temos:
Isso significa que o valor esperado é igual ao seu próprio negativo conjugado. Vamos chamar
, onde
e
são números reais. Substituindo na equação acima:
Comparando as partes reais e imaginárias:
Então, a parte real
é zero, e o valor esperado fica apenas com a parte imaginária:
Resposta
Portanto, o valor esperado de um operador anti-hermitiano é um número imaginário puro.