O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que e são números reais positivos.
Qual é a ? Se você medir a energia desse estado (em tempo ), quais valores você obterá, e quais as probabilidades de cada um? Responda a essas mesmas perguntas para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema quântico com três níveis de energia, representado pelo Hamiltoniano . Além disso, temos dois observáveis, e , também representados por matrizes. Nosso objetivo é encontrar o estado e, para esse estado, determinar os valores que obteremos ao medir a energia, e , juntamente com as probabilidades de cada resultado.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como evolução temporal de estados, observáveis representados por matrizes, valores próprios (autovalores) e probabilidades associadas aos estados.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . Em mecânica quântica, o estado de um sistema evolui no tempo de acordo com a equação de Schrödinger dependente do tempo. Se conhecemos o estado inicial , podemos encontrar usando a operação de evolução temporal.
A equação de evolução temporal é dada por:
Aqui, é o Hamiltoniano do sistema, é a constante de Planck reduzida, e é o tempo.

Passo 3

Vamos supor que o estado inicial seja uma superposição dos estados próprios do Hamiltoniano . Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de .
Olhemos a matriz do Hamiltoniano:
Como é uma matriz diagonal, os autovalores são simplesmente os elementos na diagonal: , , e . Os autovetores correspondentes são os vetores unitários:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos expressar o estado inicial como uma combinação linear dos autovetores de :
Onde , e são coeficientes complexos que determinam a contribuição de cada estado próprio na superposição inicial.

Passo 5

A evolução temporal do estado é dada por:
Onde , , e são os autovalores do Hamiltoniano.
Substituindo os valores de :

Passo 6

Para simplificar, vamos assumir que o estado inicial é um dos autovetores, por exemplo, . Assim, temos:
Então, os coeficientes são , , e . Assim, a evolução temporal fica:
Ou seja:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores esperados ao medir a energia, e nesse estado .
Medição da energia:
Como é o estado com uma fase, ao medir a energia, vamos obter apenas o valor associado a , que é , com probabilidade 1.
Medição de :
Para medir o observável , precisamos calcular os autovalores de e as probabilidades correspondentes.
A matriz de é:
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o determinante .
Cálculo dos autovalores de :
Simplificando:
Então, os autovalores são , , e .
Probabilidades:
No estado , que é a base para medição, temos que:
  • Probabilidade de medir :
  • Probabilidade de medir :
  • Probabilidade de medir :
Medição de :
A matriz de é:
Vamos encontrar os autovalores resolvendo .
Cálculo dos autovalores de :
Então, os autovalores são , , e .
Probabilidades:
No estado , temos:
  • Probabilidade de medir :
  • Probabilidade de medir :
  • Probabilidade de medir :

Resposta

Portanto, o estado é dado por:
Ao medir a energia nesse estado, obteremos o valor com probabilidade 1.
Para o observável , ao medir, sempre obteremos o valor com probabilidade 1.
Já para o observável , ao medir, sempre obteremos o valor com probabilidade 1.

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