Um operador representando o observável tem dois autoestados normalizados, e , com autovalores e respectiva-
mente. O operador , representando o observável , tem dois autoestados normalizados, e , com autovalores e . Os autoestados estão relacionados por
O observável é medido e o valor é obtido. Qual é o estado do sistema (imediatamente) após a medida?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos dois observáveis, e , cada um com seus próprios autoestados e autovalores. Quando medimos o observável e obtemos o valor , queremos saber qual é o estado do sistema imediatamente após essa medição.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de mecânica quântica, como autoestados, autovalores e o que acontece com o estado do sistema após uma medição. Não se preocupa se esses conceitos parecerem complicados agora, vamos explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autoestado de um operador (neste caso, nossos observáveis e ) é um estado que, quando o operador é aplicado a ele, retorna o mesmo estado multiplicado por um número chamado autovalor.
Para o observável , temos:
E para o observável :

Passo 3

O problema nos dá uma relação entre os autoestados de e os de :
Isso significa que os estados e de são combinações lineares dos estados e de .

Passo 4

Agora, quando medimos o observável e obtemos o valor , o princípio da redução do estado nos diz que o estado do sistema “colapsa” para o autoestado correspondente a esse autovalor. Ou seja, após a medição, o estado do sistema será exatamente .

Passo 5

Portanto, o estado do sistema imediatamente após a medição de com valor é o autoestado , que já sabemos que é uma combinação dos estados e :

Resposta

Após a medição de com valor , o estado do sistema é

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