Mostre que as duas definições do produto escalar
e
são iguais. Uma maneira de mostrar é escolher o eixo
ao longo da direção
. [Estritamente falando, você deve primeiro se assegurar de que a definição (1.7) é independente da escolha dos eixos. Se você gosta de dar atenção a essas sutilezas, veja o Problema 1.16.]
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que as duas definições de produto escalar são iguais. A primeira definição é
, que é a definição geométrica, e a segunda é
, que é a definição algébrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas definições funcionam e escolher um sistema de coordenadas conveniente, alinhando o eixo
com o vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o eixo
na direção de
. Isso simplifica as coisas porque, nesse caso, o vetor
só tem componente no eixo
. Ou seja, podemos escrever
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor
. Como estamos no sistema de coordenadas onde
está alinhado com o
, o vetor
pode ter componentes nos eixos
,
e
. Então, podemos escrever
.
Passo 4
A definição algébrica do produto escalar é
. Como
, isso simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a definição geométrica:
. Precisamos relacionar isso com a expressão que obtivemos pela definição algébrica, que é
.
Passo 6
Sabemos que
, onde
é o ângulo entre os vetores
e
. Substituindo isso na expressão algébrica, temos
.
Resposta
Portanto, mostramos que as duas definições do produto escalar,
e
, são iguais.