Mostre que as duas definições do produto escalar e são iguais. Uma maneira de mostrar é escolher o eixo ao longo da direção . [Estritamente falando, você deve primeiro se assegurar de que a definição (1.7) é independente da escolha dos eixos. Se você gosta de dar atenção a essas sutilezas, veja o Problema 1.16.]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que as duas definições de produto escalar são iguais. A primeira definição é , que é a definição geométrica, e a segunda é , que é a definição algébrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas definições funcionam e escolher um sistema de coordenadas conveniente, alinhando o eixo com o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o eixo na direção de . Isso simplifica as coisas porque, nesse caso, o vetor só tem componente no eixo . Ou seja, podemos escrever .

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor . Como estamos no sistema de coordenadas onde está alinhado com o , o vetor pode ter componentes nos eixos , e . Então, podemos escrever .

Passo 4

A definição algébrica do produto escalar é . Como , isso simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos olhar para a definição geométrica: . Precisamos relacionar isso com a expressão que obtivemos pela definição algébrica, que é .

Passo 6

Sabemos que , onde é o ângulo entre os vetores e . Substituindo isso na expressão algébrica, temos .

Resposta

Portanto, mostramos que as duas definições do produto escalar, e , são iguais.

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