Resolva as equações de transformação de Lorentz (15.20) para obter em termos de . Certifique-se de que você obtém a inversa da transformação de Lorentz (15.21). Observe que você poderia ter encontrado o mesmo resultado pela troca das variáveis com as plicas pelas sem as plicas e trocado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver as equações de transformação de Lorentz e expressar em termos de . Estamos trabalhando com a matéria de Relatividade Especial, especificamente com as transformações de Lorentz que conectam duas referências inerciais em movimento relativo uma à outra. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e como manipular equações para isolar as variáveis que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as transformações de Lorentz diretas, que geralmente relacionam as coordenadas com quando uma referência está se movendo com velocidade em relação à referência ao longo do eixo . As equações são:
onde é o fator de Lorentz.
Passo 3
Nosso objetivo é inverter essas equações para obter em termos de . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações acima para e , já que e são iguais a e .
Vamos começar isolando e . Primeiramente, da segunda e terceira equações, já temos:
Agora, vamos focar nas equações de e :
Passo 4
Vamos reescrever essas duas equações de forma mais clara:
\quad (Equação 1)
\quad (Equação 2)
Nosso objetivo é resolver esse sistema para e .
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a Equação 1 para :
çã
Agora, vamos substituir a Equação 3 na Equação 2 para encontrar .
Passo 6
Substituindo da Equação 3 na Equação 2:
Simplificando:
Sabendo que :
Agora, isolamos :
çã
Passo 7
Agora que temos em termos de e , substituímos de volta na Equação 3 para encontrar :
Fatorando :
Simplificando :
Sabemos que , então:
Portanto:
Multiplicando e dividindo :
Passo 8
Agora, temos as expressões para e em termos de e :
E lembre-se que e .
Resposta
As equações de transformação de Lorentz invertidas são:
Isso confirma que obtivemos a inversa das transformações de Lorentz, conforme solicitado!
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.15