Mostre que o caminho mais curto entre dois pontos em três dimensões é a reta. Escreva o caminho na forma paramétrica
e use as três equações de Euler-Lagrange correspondentes a (6.34).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o caminho mais curto entre dois pontos em três dimensões é uma reta. A gente vai usar o que se chama de Cálculo das Variações, especificamente as Equações de Euler-Lagrange. Para isso, vamos precisar escrever o caminho de forma paramétrica e aplicar essas equações para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como medir o comprimento de um caminho no espaço tridimensional. Se temos um caminho parametrizado por , com as coordenadas , e , o comprimento total desse caminho é dado por uma integral:

Passo 3

Agora, vamos identificar essa expressão com o que chamamos de funcional no Cálculo das Variações. O funcional que queremos minimizar (ou extremizar) é o comprimento :
Onde , e .

Passo 4

Para facilitar, vamos simplificar o Lagrangiano , que é a parte dentro da integral:

Passo 5

As Equações de Euler-Lagrange nos dizem que, para cada coordenada , e , devemos ter:
E o mesmo para e . Vamos calcular cada termo.

Passo 6

Calculando as derivadas para :
Como não depende diretamente de , temos:
Isso significa que é constante. O mesmo vale para e .

Passo 7

Se as derivadas , e são proporcionais a constantes, isso implica que , e são funções lineares de . Ou seja:
Onde , , , , e são constantes determinadas pelos pontos iniciais e finais.

Resposta

Portanto, o caminho mais curto entre dois pontos em três dimensões é uma reta, que pode ser escrita na forma paramétrica como:
Onde , , , , e são constantes que definem a reta específica entre os dois pontos dados.

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