Com a finalidade de demonstrar as fórmulas cruciais (5.83)-(5.85) para os coeficientes de Fourier e , você deve primeiro demonstrar o seguinte:
(Essa integral é obviamente se .) Há um resultado idêntico quando todos os
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral envolvendo funções cosseno, e o objetivo é mostrar que, quando a gente integra o produto de dois cossenos com frequências diferentes ou iguais sobre um intervalo específico, o resultado é bem simples: ou é se as frequências são iguais (e não são zero), ou é zero se são diferentes. Isso tudo faz parte do estudo das Séries de Fourier, que são usadas pra representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar usar uma identidade trigonométrica pra facilitar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade importante que transforma o produto de dois cossenos em uma soma:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que a gente tem.
Passo 3
Agora, substituímos o produto de cossenos na integral pela expressão que obtivemos na identidade:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais.
Passo 5
A integral de de a é dada por:
Vamos aplicar isso nas duas integrais.
Passo 6
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 7
Vamos avaliar as expressões nos limites de integração. Note que , então:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 8
Agora, lembrando que , substituímos:
E
Passo 9
Sabemos que para qualquer inteiro . Então, a menos que , ambas as frações vão resultar em zero porque o numerador será zero.
Mas quando , temos que a expressão original da integral se torna:
Passo 10
Quando , usando a identidade :
Isso se torna:
Porque a integral de sobre o intervalo é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.47