Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (b) Mostre que o valor absoluto de , definido como , é também obtido por , onde denota o complexo conjugado de , definido como .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de números complexos. O enunciado pede para mostrar que o valor absoluto de um número complexo , definido como , também pode ser encontrado usando a relação , onde é o conjugado de . Para isso, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como calcular o valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária, e é a unidade imaginária, .

Passo 3

O conjugado de , denotado por , é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Ou seja:
Isso significa que se tem uma parte imaginária positiva, terá a parte imaginária negativa, e vice-versa.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar pelo seu conjugado :
Vamos expandir essa expressão usando a propriedade distributiva.

Passo 5

Aplicando a multiplicação:
Simplificando termo a termo:

Passo 6

Observamos que os termos e se anulam:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 7

Agora, o valor absoluto de é definido como:
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

Passo 8

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Portanto, mostramos que .

Resposta

Demonstramos que através das propriedades do número complexo e do seu conjugado.

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