Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (b) Mostre que o valor absoluto de
, definido como
, é também obtido por
, onde
denota o complexo conjugado de
, definido como
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de números complexos. O enunciado pede para mostrar que o valor absoluto de um número complexo
, definido como
, também pode ser encontrado usando a relação
, onde
é o conjugado de
. Para isso, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como calcular o valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária, e
é a unidade imaginária,
.
Passo 3
O conjugado de
, denotado por
, é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Ou seja:
Isso significa que se
tem uma parte imaginária positiva,
terá a parte imaginária negativa, e vice-versa.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
pelo seu conjugado
:
Vamos expandir essa expressão usando a propriedade distributiva.
Passo 5
Aplicando a multiplicação:
Simplificando termo a termo:
Passo 6
Observamos que os termos
e
se anulam:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, o valor absoluto de
é definido como:
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Passo 8
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Portanto, mostramos que
.
Resposta
Demonstramos que
através das propriedades do número complexo e do seu conjugado.