*23. Um fóton com comprimento de onda igual a 0,45000 \mathrm{~nm} atinge um elétron livre que está inicialmente em repouso. O fóton é espalhado para trás na mesma direção do impacto. Qual a velocidade de recuo do elétron após a colisão?

Passo 1

O enunciado descreve um espalhamento de Compton: um fóton com comprimento de onda \lambda=0,45000\text{ nm} incide num elétron livre inicialmente em repouso e é espalhado exatamente para trás \theta=180^\circ. Para resolver precisamos usar a fórmula do deslocamento Compton para encontrar a nova \lambda', depois aplicar conservação de energia para achar a energia cinética K do elétron e, finalmente, relacionar K à sua velocidade v.

Passo 2

A fórmula do deslocamento Compton é
\Delta \lambda \;=\;\lambda' - \lambda \;=\;\frac{h}{m_e\,c}\,\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Para \theta=180^\circ temos \cos\theta=-1, logo
\Delta \lambda \;=\;2\,\frac{h}{m_e\,c}\;=\;2\,\lambda_C,
onde
\lambda_C = \frac{h}{m_e\,c}
é o comprimento de onda de Compton do elétron. Com h=6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}, m_e=9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg} e c=2{,}998\times10^8\,\text{m/s}, obtemos
\lambda_C = 2{,}426\times10^{-12}\,\text{m} \quad\Longrightarrow\quad \Delta \lambda = 2\,\lambda_C = 4{,}852\times10^{-12}\,\text{m}.

Passo 3

O comprimento de onda espalhado é
\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0{,}45000\times10^{-9}\,\text{m} + 4{,}852\times10^{-12}\,\text{m} = 0{,}454852\times10^{-9}\,\text{m}.
As energias do fóton antes e depois são
E = \frac{h\,c}{\lambda}, \quad E' = \frac{h\,c}{\lambda'},
com h\,c=1{,}986\times10^{-25}\,\text{J\cdotm}. Assim,
E = \frac{1{,}986\times10^{-25}}{0{,}45000\times10^{-9}} = 4{,}414\times10^{-16}\,\text{J}, \quad E' = \frac{1{,}986\times10^{-25}}{0{,}454852\times10^{-9}} = 4{,}369\times10^{-16}\,\text{J}.

Passo 4

A energia cinética transferida ao elétron é
K = E - E' = 4{,}414\times10^{-16}\,\text{J} -4{,}369\times10^{-16}\,\text{J} = 4{,}5\times10^{-18}\,\text{J}.
Como K\ll m_e c^2, usamos a aproximação não-relativística
K = \tfrac12\,m_e\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,K}{m_e}}.

Passo 5

Substituindo K=4{,}5\times10^{-18}\,\text{J} e m_e=9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}:
v = \sqrt{\frac{2\cdot4{,}5\times10^{-18}}{9{,}109\times10^{-31}}} \approx 3{,}1\times10^{6}\,\text{m/s}.

Resposta

A velocidade de recuo do elétron é aproximadamente
v \approx 3{,}1\times10^{6}\,\text{m/s}.

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