Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano admita apenas dois autoestados, com energia e (com energia ). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação com os seguintes elementos de matriz:
em que é uma constante específica.
(b) Calcule as energias do sistema perturbado utilizando a teoria perturbacional de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema quântico com dois estados próprios, e , cada um com sua energia correspondente e . A gente vai aplicar uma perturbação no sistema, representada por , e nosso objetivo é calcular as novas energias do sistema usando a teoria perturbacional de segunda ordem. Para isso, vamos precisar entender como a perturbação afeta as energias dos estados e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o básico da teoria da perturbação. Quando temos um sistema cujos estados próprios sabemos e aplicamos uma pequena perturbação , as energias dos estados podem mudar. A teoria perturbacional nos dá uma maneira de calcular essas mudanças de energia em ordens sucessivas de .

Passo 3

A gente sabe que, na teoria perturbacional, a energia perturbada de um estado pode ser escrita como uma expansão:
Aqui, é a energia não perturbada, é a primeira ordem de correção devido à perturbação, e é a segunda ordem de correção.

Passo 4

Vamos calcular a primeira ordem de correção . A fórmula para isso é:
No nosso caso, temos que:
Então, as correções de primeira ordem para ambos os estados são zero:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda ordem de correção, . A fórmula é:
Como só temos dois estados, e , o somatório para cada estado terá apenas um termo correspondente ao outro estado.

Passo 6

Vamos calcular primeiro. Aqui, e :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos calcular , com e :
Assim como antes, , então:

Passo 8

Finalmente, somamos as correções de segunda ordem às energias não perturbadas para obter as energias perturbadas:

Resposta

As energias do sistema perturbado são:

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