Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano
admita apenas dois autoestados,
com energia
e
(com energia
). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que
seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação
com os seguintes elementos de matriz:
em que
é uma constante específica.
(b) Calcule as energias do sistema perturbado utilizando a teoria perturbacional de segunda ordem.
(b) Calcule as energias do sistema perturbado utilizando a teoria perturbacional de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema quântico com dois estados próprios,
e
, cada um com sua energia correspondente
e
. A gente vai aplicar uma perturbação no sistema, representada por
, e nosso objetivo é calcular as novas energias do sistema usando a teoria perturbacional de segunda ordem. Para isso, vamos precisar entender como a perturbação afeta as energias dos estados e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o básico da teoria da perturbação. Quando temos um sistema cujos estados próprios sabemos e aplicamos uma pequena perturbação
, as energias dos estados podem mudar. A teoria perturbacional nos dá uma maneira de calcular essas mudanças de energia em ordens sucessivas de
.
Passo 3
A gente sabe que, na teoria perturbacional, a energia perturbada
de um estado
pode ser escrita como uma expansão:
Aqui,
é a energia não perturbada,
é a primeira ordem de correção devido à perturbação, e
é a segunda ordem de correção.
Passo 4
Vamos calcular a primeira ordem de correção
. A fórmula para isso é:
No nosso caso, temos que:
Então, as correções de primeira ordem para ambos os estados são zero:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda ordem de correção,
. A fórmula é:
Como só temos dois estados,
e
, o somatório para cada estado
terá apenas um termo correspondente ao outro estado.
Passo 6
Vamos calcular
primeiro. Aqui,
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, com
e
:
Assim como antes,
, então:
Passo 8
Finalmente, somamos as correções de segunda ordem às energias não perturbadas para obter as energias perturbadas:
Resposta
As energias do sistema perturbado são: