Para soluções normalizáveis, a constante da separação
deve ser real. Dica: escreva
(na Equação 2.7) como
(com
e
reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os
, então
deve ser zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre soluções normalizáveis e a constante de separação
que, segundo o enunciado, precisa ser real. Estamos lidando com equações diferenciais que aparecem, por exemplo, na mecânica quântica quando se busca funções de onda que representam estados físicos possíveis. Para resolver isso, vamos usar a dica que nos deu: escrever
como
, onde
e
são números reais, e mostrar que
tem que ser zero para que a solução seja válida para todos os tempos
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a constante de separação
como
. Isso significa que estamos assumindo que
pode ter uma parte real
e uma parte imaginária
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos considerar como essa constante
aparece na solução da equação diferencial. Geralmente, em problemas como esse, as soluções têm a forma de exponenciais complexas que dependem do tempo
. Por exemplo, uma solução típica seria:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos analisar essa expressão. A parte
é uma oscilação periódica, que não afeta a normalização da função. No entanto, a parte
pode causar problemas. Se
for diferente de zero, essa exponencial cresce ou decresce exponencialmente com o tempo
.
Passo 5
Para que a solução
seja normalizável para todos os tempos
, a função não pode crescer sem limites, pois isso faria com que a probabilidade total não fosse finita. Portanto, para evitar esse crescimento exponencial, precisamos que o fator
não contribua para o aumento da função.
Passo 6
A única maneira de garantir que
não cresça com o tempo é fazer com que
. Assim, a constante de separação
fica apenas com a parte real:
Isso assegura que a solução permanece normalizável para todos os tempos
.
Resposta
Portanto, para que as soluções sejam normalizáveis e válidas para todos os tempos
, a constante de separação
deve ser real, ou seja,
.