Para soluções normalizáveis, a constante da separação deve ser real. Dica: escreva (na Equação 2.7) como (com e reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os , então deve ser zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre soluções normalizáveis e a constante de separação que, segundo o enunciado, precisa ser real. Estamos lidando com equações diferenciais que aparecem, por exemplo, na mecânica quântica quando se busca funções de onda que representam estados físicos possíveis. Para resolver isso, vamos usar a dica que nos deu: escrever como , onde e são números reais, e mostrar que tem que ser zero para que a solução seja válida para todos os tempos .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a constante de separação como . Isso significa que estamos assumindo que pode ter uma parte real e uma parte imaginária . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos considerar como essa constante aparece na solução da equação diferencial. Geralmente, em problemas como esse, as soluções têm a forma de exponenciais complexas que dependem do tempo . Por exemplo, uma solução típica seria:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos analisar essa expressão. A parte é uma oscilação periódica, que não afeta a normalização da função. No entanto, a parte pode causar problemas. Se for diferente de zero, essa exponencial cresce ou decresce exponencialmente com o tempo .

Passo 5

Para que a solução seja normalizável para todos os tempos , a função não pode crescer sem limites, pois isso faria com que a probabilidade total não fosse finita. Portanto, para evitar esse crescimento exponencial, precisamos que o fator não contribua para o aumento da função.

Passo 6

A única maneira de garantir que não cresça com o tempo é fazer com que . Assim, a constante de separação fica apenas com a parte real:
Isso assegura que a solução permanece normalizável para todos os tempos .

Resposta

Portanto, para que as soluções sejam normalizáveis e válidas para todos os tempos , a constante de separação deve ser real, ou seja, .

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