Um operador anti-hermitiano é igual a menos o seu conjugado hermitiano:
Demonstre que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. E o comutador de dois operadores anti-hermitianos, o que é?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. Além disso, queremos saber o que acontece com o comutador de dois operadores anti-hermitianos. Vamos precisar entender o que são operadores hermitianos e anti-hermitianos, além de saber como calcular comutadores. Vamos usar conceitos de álgebra linear e mecânica quântica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são operadores hermitianos. Um operador
é hermitiano se ele for igual ao seu conjugado hermitiano, ou seja:
Já um operador anti-hermitiano satisfaz:
O comutador de dois operadores
e
é definido como:
Passo 3
Agora, vamos mostrar que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. Ou seja, se
e
são hermitianos, então
deve ser anti-hermitiano.
Vamos calcular o conjugado hermitiano do comutador:
Usando a propriedade de que
, temos:
Como
e
são hermitianos (
e
), substituímos:
Isso mostra que:
Ou seja, o comutador
é anti-hermitiano.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comutador de dois operadores anti-hermitianos. Seja
e
dois operadores anti-hermitianos, então:
Queremos encontrar o conjugado hermitiano do comutador
:
Substituindo
e
:
Isso mostra que:
Portanto, o comutador de dois operadores anti-hermitianos também é anti-hermitiano.
Resposta
O comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano, e o comutador de dois operadores anti-hermitianos também é anti-hermitiano.