Um operador anti-hermitiano é igual a menos o seu conjugado hermitiano:
Demonstre que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. E o comutador de dois operadores anti-hermitianos, o que é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. Além disso, queremos saber o que acontece com o comutador de dois operadores anti-hermitianos. Vamos precisar entender o que são operadores hermitianos e anti-hermitianos, além de saber como calcular comutadores. Vamos usar conceitos de álgebra linear e mecânica quântica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são operadores hermitianos. Um operador é hermitiano se ele for igual ao seu conjugado hermitiano, ou seja:
Já um operador anti-hermitiano satisfaz:
O comutador de dois operadores e é definido como:

Passo 3

Agora, vamos mostrar que o comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano. Ou seja, se e são hermitianos, então deve ser anti-hermitiano.
Vamos calcular o conjugado hermitiano do comutador:
Usando a propriedade de que , temos:
Como e são hermitianos ( e ), substituímos:
Isso mostra que:
Ou seja, o comutador é anti-hermitiano.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comutador de dois operadores anti-hermitianos. Seja e dois operadores anti-hermitianos, então:
Queremos encontrar o conjugado hermitiano do comutador :
Substituindo e :
Isso mostra que:
Portanto, o comutador de dois operadores anti-hermitianos também é anti-hermitiano.

Resposta

O comutador de dois operadores hermitianos é anti-hermitiano, e o comutador de dois operadores anti-hermitianos também é anti-hermitiano.

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