Para uma função
, que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que
é qualquer distância constante). Por essa razão,
é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:
Demonstre que o valor esperado de uma variável dinâmica
em tempo
pode ser escrito
Use isso para recuperar a Equação 3.71. Dica: faça
, e expanda para primeira ordem em
.
Demonstre que o valor esperado de uma variável dinâmica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para uma função
que pode ser expandida em série de Taylor, a translação de
por uma distância constante
pode ser representada pelo operador exponencial
. Além disso, precisamos demonstrar uma expressão para o valor esperado de uma variável dinâmica
em um tempo
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor, operadores em mecânica quântica, e a noção de valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Se
é suficientemente suave, podemos expandi-la em torno de
da seguinte forma:
Isso serve para aproximar funções perto de um ponto específico.
Passo 3
Na mecânica quântica, operadores como
(posição) e
(momento) seguem certas regras de comutação. Aqui,
é o operador de momentum, e sabemos que ele está relacionado às translações no espaço. A ideia é mostrar que o operador de translação pode ser expresso como
, onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Vamos aplicar o operador exponencial
à função
. Usando a definição de exponencial de um operador, temos:
Passo 5
Sabemos que o operador
age como derivada na posição, ou seja,
. Substituindo isso na expansão, temos:
Passo 6
Comparando essa expressão com a série de Taylor que escrevemos no Passo 2, vemos que são exatamente iguais:
Isso mostra que
atua como gerador de translações no espaço, deslocando a função
em
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos demonstrar que o valor esperado de uma variável dinâmica
no tempo
pode ser expresso como:
Aqui,
é o operador Hamiltoniano, que gera a evolução temporal do sistema.
Passo 8
Para isso, vamos usar a evolução temporal em mecânica quântica. O estado do sistema no tempo
é dado por:
O valor esperado de
nesse novo estado é:
Isso mostra como o operador
se transforma no tempo.
Passo 9
Agora, para recuperar a Equação 3.71, vamos definir
, sendo
um pequeno intervalo de tempo. Então, expandimos os operadores exponenciais até a primeira ordem em
:
Multiplicando essas aproximações com
:
Passo 10
Substituindo de volta no valor esperado:
Isso nos dá a mudança do valor esperado de
em um pequeno intervalo de tempo
, que é a Equação 3.71.
Resposta
Prontinho! Conseguimos mostrar que a translação da função
é gerada pelo operador exponencial
e demonstramos a expressão para o valor esperado de uma variável dinâmica em um tempo
, recuperando a Equação 3.71 ao expandir para a primeira ordem em
.