Para uma função , que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que é qualquer distância constante). Por essa razão, é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:
Demonstre que o valor esperado de uma variável dinâmica em tempo pode ser escrito
Use isso para recuperar a Equação 3.71. Dica: faça , e expanda para primeira ordem em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para uma função que pode ser expandida em série de Taylor, a translação de por uma distância constante pode ser representada pelo operador exponencial . Além disso, precisamos demonstrar uma expressão para o valor esperado de uma variável dinâmica em um tempo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor, operadores em mecânica quântica, e a noção de valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Se é suficientemente suave, podemos expandi-la em torno de da seguinte forma:
Isso serve para aproximar funções perto de um ponto específico.

Passo 3

Na mecânica quântica, operadores como (posição) e (momento) seguem certas regras de comutação. Aqui, é o operador de momentum, e sabemos que ele está relacionado às translações no espaço. A ideia é mostrar que o operador de translação pode ser expresso como , onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos aplicar o operador exponencial à função . Usando a definição de exponencial de um operador, temos:

Passo 5

Sabemos que o operador age como derivada na posição, ou seja, . Substituindo isso na expansão, temos:

Passo 6

Comparando essa expressão com a série de Taylor que escrevemos no Passo 2, vemos que são exatamente iguais:
Isso mostra que atua como gerador de translações no espaço, deslocando a função em .

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos demonstrar que o valor esperado de uma variável dinâmica no tempo pode ser expresso como:
Aqui, é o operador Hamiltoniano, que gera a evolução temporal do sistema.

Passo 8

Para isso, vamos usar a evolução temporal em mecânica quântica. O estado do sistema no tempo é dado por:
O valor esperado de nesse novo estado é:
Isso mostra como o operador se transforma no tempo.

Passo 9

Agora, para recuperar a Equação 3.71, vamos definir , sendo um pequeno intervalo de tempo. Então, expandimos os operadores exponenciais até a primeira ordem em :
Multiplicando essas aproximações com :

Passo 10

Substituindo de volta no valor esperado:
Isso nos dá a mudança do valor esperado de em um pequeno intervalo de tempo , que é a Equação 3.71.

Resposta

Prontinho! Conseguimos mostrar que a translação da função é gerada pelo operador exponencial e demonstramos a expressão para o valor esperado de uma variável dinâmica em um tempo , recuperando a Equação 3.71 ao expandir para a primeira ordem em .

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