Suponha que
para constantes e .
Calcule e (em tempo ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a expectativa de , a expectativa de e o desvio padrão para a função de onda dada em . Isso está dentro do estudo da mecânica quântica, mais especificamente envolvendo operadores de posição e suas expectativas. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e então calcular as integrais correspondentes às expectativas.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar a constante de forma que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo :
Sabemos que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a expectativa de posição. A fórmula é:
Substituindo :
Observando a função integranda, vemos que é ímpar (pois ao numerador e a função ao denominador é par). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a expectativa de :
Substituindo :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o desvio padrão , que mede a incerteza na posição:
Como já sabemos que :

Resposta

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