Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a expectativa de , a expectativa de e o desvio padrão para a função de onda dada em . Isso está dentro do estudo da mecânica quântica, mais especificamente envolvendo operadores de posição e suas expectativas. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e então calcular as integrais correspondentes às expectativas.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar a constante de forma que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo :
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é a expectativa de posição. A fórmula é:
Substituindo :
Observando a função integranda, vemos que é ímpar (pois ao numerador e a função ao denominador é par). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
Passo 4
Agora, vamos calcular , a expectativa de :
Substituindo :
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o desvio padrão, que mede a incerteza na posição:
Como já sabemos que :
Resposta
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.30b