Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (e) Deduza que se
, com
e
reais, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se
com
,
e
sendo números reais, então o módulo de
ao quadrado é
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um número complexo e como lidar com a divisão de complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um número complexo
pode ser representado como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. O módulo de
é dado por
. No nosso caso, precisamos encontrar o módulo de
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Então:
Passo 4
Agora, podemos separar a parte real e a imaginária de
:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 5
Vamos calcular o módulo de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
Portanto, mostramos que
, como queríamos!