Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (e) Deduza que se , com e reais, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, se com , e sendo números reais, então o módulo de ao quadrado é . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um número complexo e como lidar com a divisão de complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um número complexo pode ser representado como , onde é a parte real e é a parte imaginária. O módulo de é dado por . No nosso caso, precisamos encontrar o módulo de .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Então:

Passo 4

Agora, podemos separar a parte real e a imaginária de :
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 5

Vamos calcular o módulo de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Resposta

Portanto, mostramos que , como queríamos!

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