Mostre que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme girando em torno de um diâmetro é
. O somatório (3.31) deve ser substituído por uma integral, que é bem mais fácil quando em coordenadas esféricas polares, com o eixo de rotação considerado como sendo o eixo
. O elemento de volume é
. (As coordenadas esféricas polares estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com elas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o momento de inércia (
) de uma esfera sólida e uniforme quando ela gira em torno de um diâmetro. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação, e ele é importante para entender o movimento rotacional.
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas polares, pois facilitam a integração em torno de um eixo. A fórmula que vamos usar para calcular o momento de inércia é:
onde
é a distância perpendicular de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 2
Vamos definir o eixo de rotação como o eixo
nas coordenadas esféricas polares. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três coordenadas: o raio
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo
) e o ângulo azimutal
(no plano
).
O elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Como a esfera é uniforme, a densidade de massa
é constante e pode ser calculada como:
onde
é a massa total e
é o raio da esfera.
Passo 3
Para encontrar
, o elemento de massa, multiplicamos a densidade
pelo elemento de volume
:
Agora, precisamos expressar
, a distância perpendicular ao eixo de rotação (eixo
). Em coordenadas esféricas, essa distância é:
Portanto,
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação do momento de inércia, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a identidade
e fazemos a substituição
,
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, juntando todas as partes, temos:
Passo 9
Sabemos que a densidade
é:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O momento de inércia da esfera sólida uniforme em torno de um diâmetro é
.