Mostre que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme girando em torno de um diâmetro é . O somatório (3.31) deve ser substituído por uma integral, que é bem mais fácil quando em coordenadas esféricas polares, com o eixo de rotação considerado como sendo o eixo . O elemento de volume é . (As coordenadas esféricas polares estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com elas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o momento de inércia ( ) de uma esfera sólida e uniforme quando ela gira em torno de um diâmetro. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação, e ele é importante para entender o movimento rotacional.
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas polares, pois facilitam a integração em torno de um eixo. A fórmula que vamos usar para calcular o momento de inércia é:
onde é a distância perpendicular de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 2

Vamos definir o eixo de rotação como o eixo nas coordenadas esféricas polares. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três coordenadas: o raio , o ângulo polar (medido a partir do eixo ) e o ângulo azimutal (no plano ).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Como a esfera é uniforme, a densidade de massa é constante e pode ser calculada como:
onde é a massa total e é o raio da esfera.

Passo 3

Para encontrar , o elemento de massa, multiplicamos a densidade pelo elemento de volume :
Agora, precisamos expressar , a distância perpendicular ao eixo de rotação (eixo ). Em coordenadas esféricas, essa distância é:
Portanto, .

Passo 4

Substituindo e na equação do momento de inércia, temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a identidade e fazemos a substituição , :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, juntando todas as partes, temos:

Passo 9

Sabemos que a densidade é:
Substituindo na expressão de :

Resposta

O momento de inércia da esfera sólida uniforme em torno de um diâmetro é .

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