Mostre que, se a força
resultante sobre uma partícula movendo-se unidimensionalmente depende apenas da posição, , então, a segunda lei de Newton pode ser resolvida para determinar como uma função de dada por
[Sugestão: use a regra da cadeia para mostrar a seguinte e prática relação, que podemos chamar a "regra ": se você considerar como uma função de , então,
Use esta equação para reescrever a segunda lei de Newton na forma separada e, em seguida, integre-a de a .] Comente seu resultado para o caso em que seja de fato uma constante. (Você pode reconhecer a sua solução como uma declaração sobre a energia cinética e o trabalho, que discutiremos no Capítulo 4.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de física que fala sobre como a força que age sobre uma partícula depende apenas da posição dela. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, para descobrir como a velocidade da partícula varia com a posição. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a regra da cadeia e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz:
Aqui, é a força resultante, é a massa da partícula, e é a aceleração. Como a partícula está se movendo unidimensionalmente, a força depende apenas da posição , ou seja, .

Passo 3

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, a Segunda Lei de Newton fica:

Passo 4

Agora, a parada é relacionar a velocidade com a posição . Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que , então podemos escrever:
Então, substituindo na Segunda Lei de Newton:

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, queremos expressar tudo em termos de . Observamos que:
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos rearranjar para facilitar a integração:
Agora, integramos ambos os lados da equação. Integramos de uma posição inicial com velocidade inicial até uma posição :

Passo 8

Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Então, temos:

Passo 9

Isolando :

Resposta

Então, mostramos que a velocidade como função da posição é dada por:
Além disso, se for uma constante, digamos , a integral simplifica para . Assim, a equação fica:
Isso mostra que a variação da velocidade está relacionada ao trabalho realizado pela força sobre a partícula, conectando a energia cinética com o trabalho, que é exatamente o que veremos no Capítulo 4!

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