Mostre que, se a força
resultante sobre uma partícula movendo-se unidimensionalmente depende apenas da posição,
, então, a segunda lei de Newton pode ser resolvida para determinar
como uma função de
dada por
[Sugestão: use a regra da cadeia para mostrar a seguinte e prática relação, que podemos chamar a "regra
": se você considerar
como uma função de
, então,
Use esta equação para reescrever a segunda lei de Newton na forma separada
e, em seguida, integre-a de
a
.] Comente seu resultado para o caso em que
seja de fato uma constante. (Você pode reconhecer a sua solução como uma declaração sobre a energia cinética e o trabalho, que discutiremos no Capítulo 4.)
resultante sobre uma partícula movendo-se unidimensionalmente depende apenas da posição,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de física que fala sobre como a força que age sobre uma partícula depende apenas da posição dela. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, para descobrir como a velocidade da partícula varia com a posição. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a regra da cadeia e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz:
Aqui,
é a força resultante,
é a massa da partícula, e
é a aceleração. Como a partícula está se movendo unidimensionalmente, a força depende apenas da posição
, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, a Segunda Lei de Newton fica:
Passo 4
Agora, a parada é relacionar a velocidade
com a posição
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que
, então podemos escrever:
Então, substituindo na Segunda Lei de Newton:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, queremos expressar tudo em termos de
. Observamos que:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos rearranjar para facilitar a integração:
Agora, integramos ambos os lados da equação. Integramos de uma posição inicial
com velocidade inicial
até uma posição
:
Passo 8
Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Então, temos:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
Então, mostramos que a velocidade
como função da posição
é dada por:
Além disso, se
for uma constante, digamos
, a integral simplifica para
. Assim, a equação fica:
Isso mostra que a variação da velocidade está relacionada ao trabalho realizado pela força sobre a partícula, conectando a energia cinética com o trabalho, que é exatamente o que veremos no Capítulo 4!