Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) que está suspensa em uma extremidade fixa
e tem uma massa
presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. As equações do item (b) não podem ser resolvidas analiticamente, em geral. No entanto, elas podem ser resolvidas para pequenas oscilações. Faça isso e descreva o movimento. [Sugestão: seja
, denotando o comprimento de equilíbrio da mola, com a massa pendurada a partir dela e escreva
. “Pequenas oscilações” envolvem apenas pequenos valores de
, assim você pode usar a aproximação por pequenos ângulos e eliminar de suas equaçães todos os termos que envolvem potências de
(ou suas derivadas) mais elevadas do que a primeira potência (também produtos de
ou suas derivadas). Isso simplifica dramaticamente e desacopla as equações.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo feito com uma mola que pode esticar e comprimir. A mola tem uma constante de força
e um comprimento natural
. Uma massa
está presa na ponta da mola, que está fixada em um ponto
. O sistema está num plano vertical e não faz movimentos laterais (não flambar). A questão quer que a gente resolva as equações do movimento para pequenas oscilações, ou seja, quando as variações são bem pequenas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático e movimentos harmônicos simples. Vamos dividir a resolução em passos para entender direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o comprimento de equilíbrio da mola quando a massa está parada. No equilíbrio, a força elástica da mola equilibra o peso da massa. A força elástica da mola é dada por
, onde
é o comprimento da mola no equilíbrio. Essa força deve equilibrar o peso
, então:
Resolvendo para
:
Então, o comprimento de equilíbrio da mola é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar pequenas oscilações ao redor desse equilíbrio. Vamos definir
, onde
é uma pequena variação no comprimento da mola, e
é o pequeno ângulo de oscilação. Como estamos lidando com pequenas oscilações, podemos aproximar usando
e
. Isso simplifica as equações porque eliminamos termos que envolvem potências mais altas de
e
.
Passo 4
Com essas aproximações, vamos escrever as equações de movimento. A força total na direção radial será:
E na direção angular:
Porém, como
é pequeno, o termo
é muito pequeno e pode ser desprezado. Assim, as equações simplificadas ficam:
Passo 5
Essas equações são de movimentos harmônicos simples. Para
:
A solução geral é:
Para
:
A solução geral é:
Passo 6
Finalmente, descrevendo o movimento: o sistema realiza oscilações simples tanto na direção radial (alongamento/compressão da mola) quanto na direção angular (balançar para os lados). Como as oscilações são pequenas, essas duas movimentações acontecem de forma independente e harmônica, ou seja, com frequências constantes determinadas pelas constantes
,
e
além do comprimento de equilíbrio
.
Resposta
O movimento do pêndulo para pequenas oscilações consiste em oscilações harmônicas simples na direção radial com frequência
e oscilações harmônicas simples na direção angular com frequência
. Dessa forma, o sistema realiza movimentos independentes de alongamento/compressão da mola e de balanço para os lados, caracterizados por frequências constantes.