Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) que está suspensa em uma extremidade fixa e tem uma massa presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. As equações do item (b) não podem ser resolvidas analiticamente, em geral. No entanto, elas podem ser resolvidas para pequenas oscilações. Faça isso e descreva o movimento. [Sugestão: seja , denotando o comprimento de equilíbrio da mola, com a massa pendurada a partir dela e escreva . “Pequenas oscilações” envolvem apenas pequenos valores de , assim você pode usar a aproximação por pequenos ângulos e eliminar de suas equaçães todos os termos que envolvem potências de (ou suas derivadas) mais elevadas do que a primeira potência (também produtos de ou suas derivadas). Isso simplifica dramaticamente e desacopla as equações.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo feito com uma mola que pode esticar e comprimir. A mola tem uma constante de força e um comprimento natural . Uma massa está presa na ponta da mola, que está fixada em um ponto . O sistema está num plano vertical e não faz movimentos laterais (não flambar). A questão quer que a gente resolva as equações do movimento para pequenas oscilações, ou seja, quando as variações são bem pequenas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático e movimentos harmônicos simples. Vamos dividir a resolução em passos para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de equilíbrio da mola quando a massa está parada. No equilíbrio, a força elástica da mola equilibra o peso da massa. A força elástica da mola é dada por , onde é o comprimento da mola no equilíbrio. Essa força deve equilibrar o peso , então:
Resolvendo para :
Então, o comprimento de equilíbrio da mola é .

Passo 3

Agora, vamos considerar pequenas oscilações ao redor desse equilíbrio. Vamos definir , onde é uma pequena variação no comprimento da mola, e é o pequeno ângulo de oscilação. Como estamos lidando com pequenas oscilações, podemos aproximar usando e . Isso simplifica as equações porque eliminamos termos que envolvem potências mais altas de e .

Passo 4

Com essas aproximações, vamos escrever as equações de movimento. A força total na direção radial será:
E na direção angular:
Porém, como é pequeno, o termo é muito pequeno e pode ser desprezado. Assim, as equações simplificadas ficam:

Passo 5

Essas equações são de movimentos harmônicos simples. Para :
A solução geral é:
Para :
A solução geral é:

Passo 6

Finalmente, descrevendo o movimento: o sistema realiza oscilações simples tanto na direção radial (alongamento/compressão da mola) quanto na direção angular (balançar para os lados). Como as oscilações são pequenas, essas duas movimentações acontecem de forma independente e harmônica, ou seja, com frequências constantes determinadas pelas constantes , e além do comprimento de equilíbrio .

Resposta

O movimento do pêndulo para pequenas oscilações consiste em oscilações harmônicas simples na direção radial com frequência e oscilações harmônicas simples na direção angular com frequência . Dessa forma, o sistema realiza movimentos independentes de alongamento/compressão da mola e de balanço para os lados, caracterizados por frequências constantes.

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