Um oscilador não amortecido tem período . Quando um pequeno amortecimento é introduzido, observa-se que a amplitude da oscilação cai um período . (O período das oscilações amortecidas é definido como o tempo entre máximos sucessivos, . Veja o Problema 5.25.) O quão grande é comparado a ? Qual é o valor de ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de oscilações amortecidas. Temos um oscilador sem amortecimento com período . Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude diminui 50% em um período . Precisamos descobrir o quão grande é comparado a e encontrar o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de física sobre oscilações amortecidas e suas fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para um oscilador não amortecido, o período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Como , podemos encontrar :

Passo 3

Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A relação da amplitude em função do tempo é dada por:
Onde é a constante de amortecimento. Sabemos que a amplitude cai para 50% em um período , então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 4

Sabemos que o período das oscilações amortecidas está relacionado à frequência angular amortecida pela fórmula:
E a frequência angular amortecida está relacionada à frequência não amortecida e ao amortecimento pela relação:
Para um pequeno amortecimento, assumimos que , então podemos aproximar:
Mas como é muito menor que , podemos simplificar para:
Portanto,

Passo 5

Agora, voltando à equação e sabendo que :
Para achar a relação :

Resposta

é aproximadamente vezes e o valor de é cerca de .

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