Um oscilador não amortecido tem período
. Quando um pequeno amortecimento é introduzido, observa-se que a amplitude da oscilação cai
um período
. (O período das oscilações amortecidas é definido como o tempo entre máximos sucessivos,
. Veja o Problema 5.25.) O quão grande é
comparado a
? Qual é o valor de
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de oscilações amortecidas. Temos um oscilador sem amortecimento com período
. Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude diminui 50% em um período
. Precisamos descobrir o quão grande é
comparado a
e encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre oscilações amortecidas e suas fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para um oscilador não amortecido, o período
está relacionado à frequência angular
pela fórmula:
Como
, podemos encontrar
:
Passo 3
Quando introduzimos um pequeno amortecimento, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A relação da amplitude
em função do tempo é dada por:
Onde
é a constante de amortecimento. Sabemos que a amplitude cai para 50% em um período
, então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 4
Sabemos que o período das oscilações amortecidas
está relacionado à frequência angular amortecida
pela fórmula:
E a frequência angular amortecida
está relacionada à frequência não amortecida
e ao amortecimento
pela relação:
Para um pequeno amortecimento, assumimos que
, então podemos aproximar:
Mas como
é muito menor que
, podemos simplificar para:
Portanto,
Passo 5
Agora, voltando à equação
e sabendo que
:
Para achar a relação
: