**16. Um objeto feito de vidro tem a forma de um cubo com 0,11 \mathrm{~m} de lado, de acordo com um observador em repouso em relação a ele. No entanto, um observador se movendo em alta velocidade paralelo a uma das arestas do objeto e sabendo que a massa do objeto é igual a 3,2 \mathrm{~kg}, determina sua massa específica como igual a 7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, que é muito maior do que a massa específica do vidro. Qual a velocidade escalar do observador em movimento (em unidades de c ) em relação ao cubo?

Passo 1

O enunciado dá um cubo de vidro com aresta de 0,11,m em seu referencial próprio e massa m=3,2,kg. Um observador que se move paralelo a uma aresta mede uma massa específica (densidade) de 7800,kg/ m^{3}. O conteúdo é Relatividade Restrita: comprimento contraído e, consequentemente, volume contraído em um só eixo. Vamos usar a contração de Lorentz para achar a velocidade.

Passo 2

No referencial próprio do cubo, a densidade é
\rho_{0} = \frac{m}{L_{0}^{3}}
onde L_{0}=0,11,m. Então
L_{0}^{3} = (0,11)^{3} = 0{,}001331\text{ m}^{3}
\rho_{0} = \frac{3{,}2}{0{,}001331}\approx 2406{,}9\text{ kg/m}^{3}.

Passo 3

Para o observador em movimento, só a aresta no sentido do movimento fica contraída segundo
L = \frac{L_{0}}{\gamma}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}, \quad \beta = \frac{v}{c}.
As outras duas arestas continuam L_{0}. O volume medido é
V' = L \cdot L_{0}^{2} = \frac{L_{0}^{3}}{\gamma} = \frac{V_{0}}{\gamma}.
Logo a densidade medida é
\rho' = \frac{m}{V'} = \gamma\,\frac{m}{V_{0}} = \gamma\,\rho_{0}.

Passo 4

Igualando \rho' = 7800,kg/ m^{3}, temos
\gamma = \frac{\rho'}{\rho_{0}} = \frac{7800}{2406{,}9} \approx 3{,}24.

Passo 5

Basta encontrar \beta de
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \;\Longrightarrow\; \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(3{,}24)^{2}}} \approx 0{,}951.

Resposta

A velocidade do observador é aproximadamente v\approx0{,}95\,c.

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