Um viajante em um foguete de comprimento próprio
estabelece um sistema de coordenadas
com a sua origem
presa exatamente no meio do foguete e o eixo
ao longo do comprimento do foguete. Quando
ela provoca um flash em
. (b) Agora, considere o mesmo experimento observado de um referencial
relativo ao qual o foguete está viajando com velocidade
(com
e
nas configurações padrão). Use a inversa da transformação de Lorentz para determinar as coordenadas
e
para a chegada dos dois sinais. Explique claramente por que as duas chegadas são simultâneas em
, mas não em
. Esse fenômeno é chamado a simultaneidade da relatividade.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um foguete com comprimento próprio
, ou seja, medido no próprio foguete. O sistema de coordenadas
está centrado no meio do foguete, chamado de
, e o eixo
está alinhado com o comprimento do foguete. No instante
, ocorre um flash de luz em
.
Agora, queremos observar esse mesmo evento a partir de outro referencial
, no qual o foguete está se movendo com velocidade
. Precisamos usar a transformação inversa de Lorentz para encontrar as coordenadas
,
e
,
quando os sinais de luz chegam aos extremos do foguete. Além disso, devemos explicar por que essas chegadas são simultâneas em
, mas não em
, fenômeno conhecido como simultaneidade relativa.
Para resolver isso, vamos precisar entender a transformação de Lorentz e como ela se aplica entre os referenciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a transformação de Lorentz. Ela relaciona as coordenadas de um evento em um referencial
com outro referencial
que est�� se movendo a uma velocidade
relativa a
. A transformação direta de Lorentz é dada por:
Onde
é o fator de Lorentz e
é a velocidade da luz.
No nosso caso, queremos a transformação inversa, que nos permite passar de
para
. A inversa das equações acima é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece no referencial
. Quando o flash ocorre em
no tempo
, ele emite dois sinais de luz que viajam nas direções
e
para atingir as extremidades do foguete. Como o foguete tem comprimento próprio
, as extremidades estão a uma distância
de
.
Como a luz viaja à velocidade
, o tempo que leva para os sinais atingirem as extremidades é:
As coordenadas dos eventos de chegada dos sinais no referencial
são:
Para o sinal que vai para a direita:
Para o sinal que vai para a esquerda:
Perceba que em
, os dois sinais chegam simultaneamente, ou seja, têm o mesmo tempo
.
Passo 4
Agora, vamos usar a transformação inversa de Lorentz para encontrar as coordenadas desses eventos no referencial
.
Para o evento de chegada do sinal à direita (
,
):
Simplificando:
Para o evento de chegada do sinal à esquerda (
,
):
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as coordenadas
,
,
e
no referencial
, podemos comparar os tempos de chegada dos sinais.
Vemos que:
Claramente,
a menos que
, o que não é o caso. Portanto, no referencial
, os sinais não chegam simultaneamente às extremidades do foguete.
Passo 6
Por que isso acontece? Em
, o foguete está em repouso, e os dois sinais de luz viajam igualmente para as duas direções, chegando ao mesmo tempo nas extremidades opostas. Já em
, onde o foguete está em movimento, há uma diferença: enquanto o sinal que vai na direção do movimento precisa “correr” mais para alcançar a extremidade à frente do foguete, o sinal que vai contra o movimento precisa “correr” menos para alcançar a extremidade atrás.
Essa diferença faz com que, no referencial
, os sinais não cheguem ao mesmo tempo, mesmo que em
eles sejam simultâneos. Isso é um exemplo da relatividade da simultaneidade, um dos princípios fundamentais da Teoria da Relatividade de Einstein, que nos mostra que a simultaneidade de eventos pode depender do referencial adotado.
Resposta
As coordenadas para a chegada dos sinais no referencial
são:
Para o sinal à direita:
Para o sinal à esquerda:
Essas chegadas não são simultâneas em
, apesar de serem simultâneas em
, ilustrando a relatividade da simultaneidade na Teoria da Relatividade.