Um viajante em um foguete de comprimento próprio estabelece um sistema de coordenadas com a sua origem presa exatamente no meio do foguete e o eixo ao longo do comprimento do foguete. Quando ela provoca um flash em . (b) Agora, considere o mesmo experimento observado de um referencial relativo ao qual o foguete está viajando com velocidade (com e nas configurações padrão). Use a inversa da transformação de Lorentz para determinar as coordenadas e para a chegada dos dois sinais. Explique claramente por que as duas chegadas são simultâneas em , mas não em . Esse fenômeno é chamado a simultaneidade da relatividade.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um foguete com comprimento próprio , ou seja, medido no próprio foguete. O sistema de coordenadas está centrado no meio do foguete, chamado de , e o eixo está alinhado com o comprimento do foguete. No instante , ocorre um flash de luz em .
Agora, queremos observar esse mesmo evento a partir de outro referencial , no qual o foguete está se movendo com velocidade . Precisamos usar a transformação inversa de Lorentz para encontrar as coordenadas , e , quando os sinais de luz chegam aos extremos do foguete. Além disso, devemos explicar por que essas chegadas são simultâneas em , mas não em , fenômeno conhecido como simultaneidade relativa.
Para resolver isso, vamos precisar entender a transformação de Lorentz e como ela se aplica entre os referenciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a transformação de Lorentz. Ela relaciona as coordenadas de um evento em um referencial com outro referencial que est�� se movendo a uma velocidade relativa a . A transformação direta de Lorentz é dada por:
Onde é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.
No nosso caso, queremos a transformação inversa, que nos permite passar de para . A inversa das equações acima é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece no referencial . Quando o flash ocorre em no tempo , ele emite dois sinais de luz que viajam nas direções e para atingir as extremidades do foguete. Como o foguete tem comprimento próprio , as extremidades estão a uma distância de .
Como a luz viaja à velocidade , o tempo que leva para os sinais atingirem as extremidades é:
As coordenadas dos eventos de chegada dos sinais no referencial são:
Para o sinal que vai para a direita:
Para o sinal que vai para a esquerda:
Perceba que em , os dois sinais chegam simultaneamente, ou seja, têm o mesmo tempo .

Passo 4

Agora, vamos usar a transformação inversa de Lorentz para encontrar as coordenadas desses eventos no referencial .
Para o evento de chegada do sinal à direita ( , ):
Simplificando:
Para o evento de chegada do sinal à esquerda ( , ):
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as coordenadas , , e no referencial , podemos comparar os tempos de chegada dos sinais.
Vemos que:
Claramente, a menos que , o que não é o caso. Portanto, no referencial , os sinais não chegam simultaneamente às extremidades do foguete.

Passo 6

Por que isso acontece? Em , o foguete está em repouso, e os dois sinais de luz viajam igualmente para as duas direções, chegando ao mesmo tempo nas extremidades opostas. Já em , onde o foguete está em movimento, há uma diferença: enquanto o sinal que vai na direção do movimento precisa “correr” mais para alcançar a extremidade à frente do foguete, o sinal que vai contra o movimento precisa “correr” menos para alcançar a extremidade atrás.
Essa diferença faz com que, no referencial , os sinais não cheguem ao mesmo tempo, mesmo que em eles sejam simultâneos. Isso é um exemplo da relatividade da simultaneidade, um dos princípios fundamentais da Teoria da Relatividade de Einstein, que nos mostra que a simultaneidade de eventos pode depender do referencial adotado.

Resposta

As coordenadas para a chegada dos sinais no referencial são:
Para o sinal à direita:
Para o sinal à esquerda:
Essas chegadas não são simultâneas em , apesar de serem simultâneas em , ilustrando a relatividade da simultaneidade na Teoria da Relatividade.

Exercícios de Livros Relacionados