Uma partícula de massa está no estado
onde e são constantes reais positivas.
(d) Encontre e . O produto deles é consistente com o princípio da incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as incertezas na posição ( ) e no momento ( ) de uma partícula, usando a função de onda dada. Além disso, queremos verificar se o produto dessas incertezas está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como cálculo de variância e a relação de incerteza.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de onda fornecida:
Aqui, e são constantes reais positivas, é a massa da partícula, é a posição e é o tempo.

Passo 3

Para encontrar a incerteza na posição , precisamos calcular a variância . Mas primeiro, vamos normalizar a função de onda para encontrar a constante .

Passo 4

A condição de normalização é:
Calculando :

Passo 5

Agora, integramos:
Sabemos que:
Então, identificando :

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular e .
Primeiro, :
Mas, como a função é par em , o valor médio será zero.

Passo 7

Agora, calculamos :
Usando a integral:
Substituindo :
Substituindo :
Então,

Passo 8

Agora, vamos encontrar a incerteza no momento . Para isso, usamos a relação:
Como a função de onda está simétrica, . Então:

Passo 9

Sabemos que:
Calculando as derivadas, após simplificação, encontramos:
Então,

Passo 10

Finalmente, vamos verificar o produto das incertezas:
O princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que:

Resposta

As incertezas são e . O produto delas é , o que está de acordo com o princípio da incerteza.

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