Uma partícula de massa
está no estado
onde
e
são constantes reais positivas.
(d) Encontre
e
. O produto deles é consistente com o princípio da incerteza?
(d) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as incertezas na posição (
) e no momento (
) de uma partícula, usando a função de onda dada. Além disso, queremos verificar se o produto dessas incertezas está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como cálculo de variância e a relação de incerteza.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de onda fornecida:
Aqui,
e
são constantes reais positivas,
é a massa da partícula,
é a posição e
é o tempo.
Passo 3
Para encontrar a incerteza na posição
, precisamos calcular a variância
. Mas primeiro, vamos normalizar a função de onda para encontrar a constante
.
Passo 4
A condição de normalização é:
Calculando
:
Passo 5
Agora, integramos:
Sabemos que:
Então, identificando
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular
e
.
Primeiro,
:
Mas, como a função é par em
, o valor médio
será zero.
Passo 7
Agora, calculamos
:
Usando a integral:
Substituindo
:
Substituindo
:
Então,
Passo 8
Agora, vamos encontrar a incerteza no momento
. Para isso, usamos a relação:
Como a função de onda está simétrica,
. Então:
Passo 9
Sabemos que:
Calculando as derivadas, após simplificação, encontramos:
Então,
Passo 10
Finalmente, vamos verificar o produto das incertezas:
O princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que:
Resposta
As incertezas são
e
. O produto delas é
, o que está de acordo com o princípio da incerteza.