Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(b) Calcule e . Represente o último na forma de função senoidal do tempo, como no Exemplo 2.1. Para simplificar o resultado, seja .

Passo 1

Beleza, o enunciado fala sobre uma partícula em um poço quadrado infinito, e a função de onda inicial é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Vamos trabalhar com a função:
O conteúdo aqui envolve a mecânica quântica, especificamente a evolução temporal de funções de onda em sistemas quantizados. Para resolver, a gente vai precisar saber como cada estado estacionário evolui no tempo e como combinar essas evoluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada estado estacionário evolui no tempo de forma simples, multiplicando-se por um fator de fase , onde é a energia do estado .
Então, a função de onda no tempo será:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a densidade de probabilidade. Isso envolve multiplicar pelo seu conjugado complexo :
Substituindo :

Passo 4

Simplificando, temos:
Aqui usamos a identidade para simplificar os termos com exponenciais.

Passo 5

Agora, vamos expressar na forma de uma função senoidal do tempo. Definimos . Precisamos relacionar com .
Sabemos que, para o poço quadrado infinito, as energias são dadas por:
Portanto,
Logo,
Mas como o cosseno é par, podemos ignorar o sinal:

Resposta

A função de onda no tempo é:
E a densidade de probabilidade, representada como uma função senoidal do tempo, é:

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