Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(b) Calcule
e
. Represente o último na forma de função senoidal do tempo, como no Exemplo 2.1. Para simplificar o resultado, seja
.
Passo 1
Beleza, o enunciado fala sobre uma partícula em um poço quadrado infinito, e a função de onda inicial é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. Vamos trabalhar com a função:
O conteúdo aqui envolve a mecânica quântica, especificamente a evolução temporal de funções de onda em sistemas quantizados. Para resolver, a gente vai precisar saber como cada estado estacionário evolui no tempo e como combinar essas evoluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada estado estacionário
evolui no tempo de forma simples, multiplicando-se por um fator de fase
, onde
é a energia do estado
.
Então, a função de onda no tempo
será:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a densidade de probabilidade. Isso envolve multiplicar
pelo seu conjugado complexo
:
Substituindo
:
Passo 4
Simplificando, temos:
Aqui usamos a identidade
para simplificar os termos com exponenciais.
Passo 5
Agora, vamos expressar
na forma de uma função senoidal do tempo. Definimos
. Precisamos relacionar
com
.
Sabemos que, para o poço quadrado infinito, as energias são dadas por:
Portanto,
Logo,
Mas como o cosseno é par, podemos ignorar o sinal:
Resposta
A função de onda no tempo é:
E a densidade de probabilidade, representada como uma função senoidal do tempo, é: