Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
(h) Verifique se seus resultados são consistentes com o princípio da incerteza.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Física Quântica onde nos dão uma função de onda para uma partícula no instante inicial :
á
A pergunta é para verificar se os resultados que obtivermos estão de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar entender e calcular algumas coisas básicas: normalizar a função de onda, calcular a incerteza na posição ( ) e a incerteza no momento ( ), e finalmente verificar se o produto dessas incertezas respeita a desigualdade do princípio da incerteza.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor da constante de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é:
Como é zero fora do intervalo a , a integral fica apenas nesse intervalo:
Vamos calcular essa integral:
Expandindo :
Agora, integramos cada termo separadamente:
Simplificando:
Então,

Passo 3

Agora que temos , vamos calcular a incerteza na posição ( ). A incerteza na posição é dada por:
Primeiro, vamos calcular . Devido à simetria da função de onda em torno de , sabemos que .
Então, .
Vamos calcular :
Substituindo :
Expandindo a integral:
Simplificando:
Resolvendo os coeficientes:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a incerteza no momento ( ). Pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg, temos:
Já temos . Para encontrar , precisamos calcular .
Em mecânica quântica, o operador de momento no espaço das posições é dado por:
Então,
Calculando a segunda derivada de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então,
Calculando a integral:
Então,
Substituindo :
Então,

Passo 5

Agora, vamos verificar o Princípio da Incerteza:
Sabemos que o Princípio da Incerteza estabelece que:
Comparando:
Isso confirma que satisfaz a desigualdade do Princípio da Incerteza.

Resposta

Os resultados obtidos mostram que , o que é maior que . Portanto, está de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

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