Uma partícula está representada (no instante
) pela função de onda
(h) Verifique se seus resultados são consistentes com o princípio da incerteza.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Física Quântica onde nos dão uma função de onda para uma partícula no instante inicial
:
A pergunta é para verificar se os resultados que obtivermos estão de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar entender e calcular algumas coisas básicas: normalizar a função de onda, calcular a incerteza na posição (
) e a incerteza no momento (
), e finalmente verificar se o produto dessas incertezas respeita a desigualdade do princípio da incerteza.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor da constante
de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é:
Como
é zero fora do intervalo
a
, a integral fica apenas nesse intervalo:
Vamos calcular essa integral:
Expandindo
:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Simplificando:
Então,
Passo 3
Agora que temos
, vamos calcular a incerteza na posição (
). A incerteza na posição é dada por:
Primeiro, vamos calcular
. Devido à simetria da função de onda em torno de
, sabemos que
.
Então,
.
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Expandindo a integral:
Simplificando:
Resolvendo os coeficientes:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a incerteza no momento (
). Pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg, temos:
Já temos
. Para encontrar
, precisamos calcular
.
Em mecânica quântica, o operador de momento no espaço das posições é dado por:
Então,
Calculando a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então,
Calculando a integral:
Então,
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos verificar o Princípio da Incerteza:
Sabemos que o Princípio da Incerteza estabelece que:
Comparando:
Isso confirma que
satisfaz a desigualdade do Princípio da Incerteza.
Resposta
Os resultados obtidos mostram que
, o que é maior que
. Portanto, está de acordo com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.