Podemos estabelecer uma teoria de espalhamento bidimensional, a qual poderia ser aplicada a projéteis em forma de disco deslizando sobre uma pista de gelo e colidindo com vários obstáculos como alvo. A seção de choque seria a largura efetiva de um alvo e a seção de choque diferencial daria o número de projéteis espalhados dentro de um ângulo . (b) Agora, considere o espalhamento de um pequeno projétil devido a uma “esfera” compacta (na verdade de um disco compacto) de raio presa ao gelo. Determine a seção de choque diferencial. (Observe que, em duas dimensões, o espalhamento de “esfera” compacta não é isotrópico.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espalhamento bidimensional! A gente tem um projétil pequeno que está colidindo com uma “esfera” compacta (na verdade, um disco) de raio preso no gelo. A gente precisa descobrir a seção de choque diferencial, que basicamente nos diz quantos projéteis são espalhados em um certo ângulo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é seção de choque diferencial. Em termos simples, é uma medida de quão “efetivo” é o alvo em espalhar os projéteis para diferentes ângulos. Em duas dimensões, isso envolve pensar em como o projétil pode atingir o alvo de diferentes maneiras, dependendo da direção do impacto.
Passo 3
Agora, vamos considerar o parâmetro de impacto. Esse é o deslocamento perpendicular entre a trajetória inicial do projétil e o centro do alvo. Se for menor que o raio , o projétil colide com o alvo. Em 2D, a relação entre o ângulo de espalhamento e o parâmetro de impacto é crucial para encontrar a seção de choque diferencial.
Passo 4
Em duas dimensões, a relação entre o ângulo de espalhamento e o parâmetro de impacto para uma colisão elástica com um disco rígido é dada por:
Isso significa que o ângulo de espalhamento depende diretamente de quão perto o projétil passa do centro do alvo.
Passo 5
Para encontrar , precisamos expressar a seção de choque diferencial em termos de e . A fórmula geral é:
Essa fórmula relaciona como pequenas variações em afetam o ângulo .
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a partir da relação entre e :
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da seção de choque diferencial:
Lembrando que , podemos simplificar a expressão.
Passo 8
Usando a identidade trigonométrica e substituindo , a expressão simplifica para:
Interessante! A seção de choque diferencial acaba sendo uma constante, o que indica que o espalhamento é isotrópico em termos desta expressão. No entanto, isso pode ser interpretado considerando as limitações geométricas do problema.
Resposta
A seção de choque diferencial para o espalhamento bidimensional de um projétil em um disco de raio é constante e dada por:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 14.Problemas - Ex. 14.14b