Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (a) Mostre que qualquer número complexo
(
e
reais) pode ser escrito como
, onde
e
são as coordenadas polares de
no plano complexo. (Lembre-se da fórmula de Euler.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma polar
. Isso está dentro do estudo dos números complexos e da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número complexo
. Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária. No plano complexo,
representa a posição horizontal e
a vertical.
Passo 3
Agora, vamos definir as coordenadas polares. No plano complexo, podemos representar
usando a distância da origem, chamada de módulo
, e o ângulo
que
faz com o eixo real positivo. A relação entre as coordenadas retangulares
e polares
é dada por:
Passo 4
A fórmula de Euler nos diz que
. Isso conecta números complexos com funções trigonométricas, facilitando a conversão entre formas.
Passo 5
Usando a fórmula de Euler, podemos reescrever
da seguinte maneira:
Comparando isso com
, vemos que:
Passo 6
Portanto, qualquer número complexo
pode ser expresso como
, onde
e
.
Resposta
Assim, mostramos que qualquer número complexo
pode ser escrito como
usando a fórmula de Euler.