Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (a) Mostre que qualquer número complexo ( e reais) pode ser escrito como , onde e são as coordenadas polares de no plano complexo. (Lembre-se da fórmula de Euler.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar . Isso está dentro do estudo dos números complexos e da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um número complexo . Aqui, é a parte real e é a parte imaginária. No plano complexo, representa a posição horizontal e a vertical.

Passo 3

Agora, vamos definir as coordenadas polares. No plano complexo, podemos representar usando a distância da origem, chamada de módulo , e o ângulo que faz com o eixo real positivo. A relação entre as coordenadas retangulares e polares é dada por:

Passo 4

A fórmula de Euler nos diz que . Isso conecta números complexos com funções trigonométricas, facilitando a conversão entre formas.

Passo 5

Usando a fórmula de Euler, podemos reescrever da seguinte maneira:
Comparando isso com , vemos que:

Passo 6

Portanto, qualquer número complexo pode ser expresso como , onde e .

Resposta

Assim, mostramos que qualquer número complexo pode ser escrito como usando a fórmula de Euler.

Exercícios de Livros Relacionados