Q|C Uma corda com densidade linear
é mantida sob uma tensão de
. Conforme uma onda senoidal transversal se propaga na corda, os elementos desta se movem com velocidade máxima
. (a) Determine a potência transmitida pela onda em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda com densidade linear de
e está sob uma tensão de
. Quando uma onda senoidal transversal passa pela corda, os pontos dela se movem com uma velocidade máxima
. A gente vai determinar a potência transmitida pela onda em função de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como densidade linear, tensão, velocidade da onda e potência.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a densidade linear para unidades consistentes. A densidade linear
é dada em gramas por metro, então vamos converter para quilogramas por metro:
Passo 3
A velocidade da onda
na corda pode ser encontrada usando a fórmula:
onde
é a tensão e
é a densidade linear. Vamos calcular essa velocidade.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, para encontrar a potência
transmitida pela onda, usamos a fórmula:
onde
é a frequência angular da onda. Porém, como queremos a potência em função de
, precisamos relacionar
e
.
Passo 6
Sabemos que a velocidade máxima
está relacionada à amplitude
e à frequência angular
por:
Então, podemos reescrever
como:
Mas como não temos
, vamos simplificar a expressão da potência.
Passo 7
A expressão da potência pode ser simplificada usando a relação entre energia e velocidade. A potência transportada por uma onda é também dada por:
Como
, então
. Substituindo na expressão da potência:
Passo 8
Agora, substituindo o valor de
que calculamos anteriormente:
Resposta
A potência transmitida pela onda é dada por: