O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável
, o valor de
em um ponto
pode ser expresso como uma série infinita envolvendo
e suas derivadas no ponto
:
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de
. (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento
ou apenas para valores de
menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de
, quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação.
(a) Determine a série de Taylor para
. (b) Faça o mesmo para
. © Da mesma forma, para sen
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Taylor para encontrar as séries de Taylor das funções
,
e . Isso envolve conhecer as derivadas dessas funções e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a parte (a): determinar a série de Taylor para
. Para isso, precisamos calcular as derivadas sucessivas da função
no ponto onde vamos expandir, que geralmente é
.
Passo 3
Vamos calcular a função e suas derivadas:
-
Função Original:
-
Primeira Derivada:
-
Segunda Derivada:
-
Terceira Derivada:
-
Quarta Derivada:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): determinar a série de Taylor para
. Calculamos as derivadas da função
:
-
Função Original:
-
Primeira Derivada:
-
Segunda Derivada:
-
Terceira Derivada:
-
Quarta Derivada:
E assim por diante.
Passo 7
Avaliando as derivadas em
:
Passo 8
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Simplificando:
Passo 9
Por fim, vamos para a parte ©: determinar a série de Taylor para . Calculamos as derivadas:
-
Função Original:
-
Primeira Derivada:
-
Segunda Derivada:
-
Terceira Derivada:
-
Quarta Derivada:
E assim por diante.
Passo 10
Avaliando as derivadas em
:
Passo 11
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Simplificando:
Resposta
As séries de Taylor são:
(a)
(b)
©
Essas séries permitem aproximar as funções para valores pequenos de
, utilizando os primeiros termos para obter uma boa estimativa.