O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável , o valor de em um ponto pode ser expresso como uma série infinita envolvendo e suas derivadas no ponto :
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de . (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento ou apenas para valores de menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de , quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação. (a) Determine a série de Taylor para . (b) Faça o mesmo para . © Da mesma forma, para sen

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Taylor para encontrar as séries de Taylor das funções , e . Isso envolve conhecer as derivadas dessas funções e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a parte (a): determinar a série de Taylor para . Para isso, precisamos calcular as derivadas sucessivas da função no ponto onde vamos expandir, que geralmente é .

Passo 3

Vamos calcular a função e suas derivadas:
  • Função Original:
  • Primeira Derivada:
  • Segunda Derivada:
  • Terceira Derivada:
  • Quarta Derivada:
E assim por diante.

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): determinar a série de Taylor para . Calculamos as derivadas da função :
  • Função Original:
  • Primeira Derivada:
  • Segunda Derivada:
  • Terceira Derivada:
  • Quarta Derivada:
E assim por diante.

Passo 7

Avaliando as derivadas em :

Passo 8

Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Simplificando:

Passo 9

Por fim, vamos para a parte ©: determinar a série de Taylor para . Calculamos as derivadas:
  • Função Original:
  • Primeira Derivada:
  • Segunda Derivada:
  • Terceira Derivada:
  • Quarta Derivada:
E assim por diante.

Passo 10

Avaliando as derivadas em :

Passo 11

Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Simplificando:

Resposta

As séries de Taylor são:
(a)
(b)
©
Essas séries permitem aproximar as funções para valores pequenos de , utilizando os primeiros termos para obter uma boa estimativa.

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